2019-2020年高二数学不等式证明一比较法.doc

2019-2020年高二数学不等式证明一比较法xx0320比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。比较法分为：作差法和作商法一、 作差法若a，bR，则： ab0ab；ab0ab；ab0ab它的三个步骤：作差变形判断符号（与零的大小）结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左右的符号，从而降低了问题的难度。作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.例1、求证：x2 + 3 3x 证：(x2 + 3) - 3x = x2 + 3 3x例2、 （课本P22例2）已知a, b, m都是正数，并且a b，求证： 证：a,b,m都是正数，并且a 0 , b - a 0 即： 变式：若a b，结果会怎样？若没有“a a2b3 + a3b2 证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正数，a + b, a2 + ab + b2 0又a b，(a - b)2 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) 0即：a5 + b5 a2b3 + a3b2例4、 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，则： 可得：S, m, n都是正数，且m n，t1 - t2 0 即：t1 0，b0，则：1ab；1ab；1ab它的三个步骤：作商变形判断与1的大小结论.作商法是当不等式两边为正的乘积形式时，通过作商把其转化为证明左/右与1的大小。例5、设a, b R+，求证：（左右为课本P22例3）证：先证不等式左中：由于要比较的两式呈幂的结构，故结合函数的单调性，故可采用作商比较法证明.作商： ，由指数函数的性质当a = b时， 当a b 0时，当b a 0时， 即 （中右请自己证明，题可改为a, b R+，求证：）作业补充题：1.已知,求证：2.求证：3.已知求证：4.已知cab0，求证.5.已知a、b、c、d都是正数，且bcad，求证.