2019-2020年高三数学二轮复习冲刺提分作业第四篇考前冲刺突破6类解答题理.doc

2019-2020年高三数学二轮复习冲刺提分作业第四篇考前冲刺突破6类解答题理三角函数类解答题是高考的热点,其起点低、位置前,但由于其公式多,性质繁,使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”变角、变式与变名.(1)变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如=(+)-=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-).(2)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式,方法通常有:“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.(3)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,方法通常有“切化弦”“升次与降次”等.例1在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.解析(1)在ABC中,因为ab,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.由正弦定理=,得sin A=.(变式)所以,b的值为,sin A的值为.(2)由(1)及ac,得cos A=,所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.(变名)故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.(变角)变式:利用恒等变换变为sin A=.变名:利用二倍角公式实现三角函数名称的变化.变角:把2A+的三角函数表示为2A和的三角函数.破解策略求解此类题目的策略:既要注重三角知识的基础性,又要注重三角知识的应用性,突出与代数、几何、向量等知识的综合联系.“明确思维起点,把握变换方向,抓住内在联系,合理选择公式”是三角变换的基本要决.在解题时,要紧紧抓住“变”这一核心,灵活运用公式与性质,仔细审题,快速运算.跟踪集训(xx郑州第二次质量预测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=2C,2b=3c.(1)求cos C;(2)若c=4,求ABC的面积.二、数列问题重在“归”化归、归纳等差数列与等比数列是两个基本数列,是一切数列问题的出发点与归宿.首项与公差(比)称为等差数列(等比数列)的基本量.只要涉及这两个数列的数学问题,我们总希望把条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系,从而达到解决问题的目的.这种化归为基本量处理的方法是等差或等比数列特有的方法,对于不是等差或等比的数列,可从简单的个别的情形出发,从中归纳出一般的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数,也可根据题目的特点,将数列问题化归为函数问题来解决.例2(xx课标全国,17,12分)设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.解析(1)因为a1+3a2+(2n-1)an=2n,故当n2时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1).(归纳)两式相减得(2n-1)an=2(n2).所以an=(n2).又由题设可得a1=2,从而an的通项公式为an=(nN*).(2)记的前n项和为Sn.由(1)知=-.(化归)则Sn=-+-+-=.归纳:通过条件归纳出a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1)(n2),进而得出an的通项公式.化归:把数列的通项分拆,利用裂项相消法求和.破解策略“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想,利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列,高考中通常考查的是非等差、等比数列问题,应对的策略就是通过化归思想,将其转化为这两种数列.跟踪集训已知数列an的前n项和Sn=,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=+(-1)nan,求数列bn的前2n项和.三、立体几何问题重在“建”建模、建系立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型;建系依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.例3(xx课标全国,19,12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.解析(1)由题设可得,ABDCBD,从而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB为二面角D-AC-B的平面角.(建模)在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.(建系)则A(1,0,0),B(0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得E.故=(-1,0,1),=(-2,0,0),=.设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,则即可取n=.设m是平面AEC的法向量,则同理可取m=(0,-1,),则cos=.易知二面角D-AE-C为锐二面角,所以二面角D-AE-C的余弦值为.建模:构建二面角的平面角模型.建系:以两两垂直的直线为坐标轴.破解策略立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定,因此,复习备考时往往有“纲”可循,有“题”可依.在平时的学习中,要加强“一题两法(几何法与向量法)”的训练,切勿顾此失彼;要重视识图训练,能正确确定关键点或线的位置,将局部空间问题转化为平面问题;能依托于题中的垂直条件,建立适当的空间直角坐标系,将几何问题化归为代数问题.跟踪集训(xx沈阳教学质量检测(一)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C底面ABC,AA1=A1C=AC=AB=BC=2,且点O为AC的中点.(1)证明:A1O平面ABC;(2)求二面角A-A1B-C1的余弦值.四、概率问题重在“辨”辨析、辨型概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要模型一找到,问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,同时,还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复杂事件.例4(xx课标,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,(辨析1)故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(辨型1)(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,(辨析2)故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=.(辨型2)因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.辨析1:判断事件A发生,在一年内出险次数为2,3,4或5.辨型1:该问题为求随机事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解.辨析2:判断事件B发生,在一年内出险次数为4或5.辨型2:该问题为条件概率,可利用公式求解.破解策略概率与统计知识的复习应抓住基本概念、基本公式,不需要做难题、偏题、怪题.在审题时,一般按以下程序操作:(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立、独立等;(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等;(3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等;(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率.跟踪集训(xx太原模拟试题)某知名品牌汽车深受消费者喜爱,但价格昂贵.某汽车经销商推出A,B,C三种分期付款方式销售该品牌汽车,并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析,得到如下的柱状图.已知从A,B,C三种分期付款方式的销售中,该经销商每销售此品牌汽车一辆所获得的利润分别是1万元,2万元,3万元.现甲、乙两人从该汽车经销商处,采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆.以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率.(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率;(2)记X(单位:万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润,求X的分布列与期望.五、解析几何问题重在“设”设点、设线解析几何试题知识点多,运算量大,能力要求高,综合性强,在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现,是考生“未考先怕”的题型,不是怕解题无思路,而是怕解题过程中繁杂的运算.因此,在遵循“设列解”程序化解题的基础上,应突出解析几何“设”的重要性,以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾,突破如何避繁就简这一瓶颈.例5(xx课标全国,20,12分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=,y2=,x1+x2=4,(设点)于是直线AB的斜率k=1.(2)由y=,得y=,设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,(设线)故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当=16(m+1)0,即m-1时,x1,2=22.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.设点:设出A,B两点坐标,并得出x1x2,x1+x2=4.设线:由(1)知直线斜率,再设直线方程为y=x+m,利用条件可求出m的值.破解策略解析几何的试题常要根据题目特征,恰当地设点、设线,以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等,常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有y=kx+b、x=my+n及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等.跟踪集训(xx昆明教学质量检测)在直角坐标系xOy中,已知定圆M:(x+1)2+y2=36,动圆N过点F(1,0)且与圆M相切,记动圆圆心N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设A,P是曲线C上两点,点A关于x轴的对称点为B(异于点P),若直线AP,BP分别交x轴于点S,T,证明:|OS|OT|为定值.六、函数与导数问题重在“分”分离、分解以函数为载体,以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题,多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论,复杂函数的零点的讨论,不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题,一般先求导,再变形或分解出基本函数,再根据题意处理.例6(xx课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)0.(1)求a;(2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2 f(x0)2-2.解析(1)f(x)的定义域为(0,+).设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x), (分离)f(x)0等价于g(x)0.因为g(1)=0,g(x)0,故g(1)=0,而g(x)=a-,g(1)=a-1,得a=1.若a=1,则g(x)=1-.当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)g(1)=0.综上,a=1.(2)由(1)知f(x)=x2-x-xln x, f (x)=2x-2-ln x.设h(x)=2x-2-ln x,(分解)则h(x)=2-.当x时,h(x)0,所以h(x)在单调递减,在单调递增.又h(e-2)0,h0;当x(x0,1)时,h(x)0.因为f (x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.由f (x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).由x0(0,1)得f(x0)f(e-1)=e-2,所以e-2f(x0)2-2.分离:把函数f(x)分离为x与g(x)的积.分解:构造h(x)=2x-2-ln x.破解策略函数与导数压轴题计算复杂、综合性强、难度大.可以参变量分离,把复杂函数分离为基本函数;可把题目分解成几个小题;也可把解题步骤分解为几个小步,注重分步解答,这样,即使解答不完整,也要做到尽可能多拿步骤分.跟踪集训(xx兰州诊断考试)已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=aln x.(1)若f(x)在上的最大值为,求实数b的值;(2)若对任意的x1,e,都有g(x)-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围.答案精解精析一、三角函数问题重在“变”变角、变式与变名跟踪集训解析(1)由已知及正弦定理得,2sin B=3sin C.B=2C,2sin 2C=3sin C,4sin Ccos C=3sin C,C(0,),sin C0,cos C=.(2)c=4,2b=3c,b=6.C(0,),sin C=,sin B=sin 2C=2sin Ccos C=,cos B=cos 2C=cos2C-sin2C=,sin A=sin(-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=+=.SABC=bcsin A=64=.二、数列问题重在“归”化归、归纳跟踪集训解析(1)当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=-=n.a1也满足an=n,故数列an的通项公式为an=n.(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn,记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n).记A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,则A=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故数列bn的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.三、立体几何问题重在“建”建模、建系跟踪集训解析(1)因为AA1=A1C,且O为AC的中点,所以A1OAC,又平面AA1C1C平面ABC,平面AA1C1C平面ABC=AC,且A1O平面AA1C1C,A1O平面ABC.(2)如图,以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.由已知可得O(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,),C1(0,2,),B(,0,0),=(,1,0),=(,0,-),=(0,2,0).设平面AA1B的法向量为m=(x1,y1,z1),则有令x1=1,得y1=-,z1=1,m=(1,-,1)是平面AA1B的一个法向量.设平面A1BC1的法向量为n=(x2,y2,z2),则有易得y2=0,令x2=1,则z2=1,n=(1,0,1)是平面A1BC1的一个法向量,cos=,所求二面角的余弦值为-.四、概率问题重在“辨”辨析、辨型跟踪集训解析(1)由柱状图可知,1位客户采用A,B,C三种分期付款方式的概率分别为0.35,0.45,0.2,则甲、乙两人都采用A种分期付款方式的概率为0.352=0.122 5,甲、乙两人都采用B种分期付款方式的概率为0.452=0.202 5,甲、乙两人都采用C种分期付款方式的概率为0.22=0.04,甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率为1-0.122 5-0.202 5-0.04=0.635.(2)由题意得,X的所有可能取值为2,3,4,5,6,P(X=2)=0.352=0.122 5,P(X=3)=20.350.45=0.315,P(X=4)=20.350.2+0.452=0.342 5,P(X=5)=20.450.2=0.18,P(X=6)=0.22=0.04,X的分布列为X23456P0.122 50.3150.342 50.180.04E(X)=20.122 5+30.315+40.342 5+50.18+60.04=3.7.五、解析几何问题重在“设”设点、设线跟踪集训解析(1)因为点F(1,0)在圆M:(x+1)2+y2=36内,所以圆N内切于圆M,则|NM|+|NF|=6|FM|,由椭圆定义知,圆心N的轨迹为椭圆,且2a=6,c=1,则a2=9,b2=8,所以动圆圆心N的轨迹方程为+=1.(2)设P(x0,y0),A(x1,y1),S(xS,0),T(xT,0),则B(x1,-y1),由题意知x0x1,则kAP=,直线AP的方程为y-y1=kAP(x-x1),令y=0,得xS=,同理,xT=,于是|OS|OT|=|xSxT|=,又P(x0,y0)和A(x1,y1)在椭圆+=1上,故=8,=8,则-=(-),-=8-8=8(-),所以|OS|OT|=9.六、函数与导数问题重在“分”分离、分解跟踪集训解析(1)f (x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f (x)=0,得x=0或x=.当x时,f (x)0,函数f(x)为增函数;当x时,f (x)f.f=+b=,b=0.(2)由g(x)-x2+(a+2)x,得(x-ln x)ax2-2x,x1,e,ln x1x,由于不能同时取等号,ln x0,a(x1,e)恒成立.令h(x)=,x1,e,则h(x)=,当x1,e时,x-10,x+2-2ln x=x+2(1-ln x)0,从而h(x)0,函数h(x)=在1,e上为增函数,h(x)min=h(1)=-1,a-1.