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2019-2020年高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理自主训练新人教B版必修1.在ABC中,A=60,a=,则等于( )A. B. C. D.思路解析:由比例的运算性质,知=,由题意,已知A、a,可得.答案:B2.ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为( )A. B. C. D.思路解析:pq(a+c)(c-a)=b(b-a) b2+a2-c2=ab,利用余弦定理,得2cosC=1,即cosC=C=.答案:B3.在ABC中,若,则ABC是( )A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形思路解析:设=k,则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC,代入,得.于是sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0,A=B.同理,B=C,C=A.答案:B4.在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1,则c等于( )A.1 B.2 C. D.思路解析:由正弦定理,得sinB=,又ab,所以AB,故B=30.所以C=90.故c=2.也可以利用b2+c2-a2=2bccosA求解.答案:B5.在ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c.若sinAsinBsinC=578,则abc=_,B的大小是_.思路解析:,sinAsinBsinC=578,abc=578.令a=5,b=7,c=8,则cosB=.B=.答案:578 6.在ABC中,已知BC=12,A=60,B=45,则AC=_.思路解析:已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边及其夹角运用余弦定理.由正弦定理,得,解得AC=.答案: 7.已知钝角ABC的三边a=k,b=k+2,c=k+4,求k的取值范围.思路分析:由三角形中大边对大角的性质,可知角C为最大角,即C为钝角,则cosC0,结合余弦定理可求解.注意已知三边a,b,c,必须首先能构成一个三角形,方法是两边之和大于第三边.解:cba,角C为钝角.由余弦定理,得cosC=0.k2-4k-120,即-2k6.又由三角形两边之和大于第三边,即k+(k+2)k+4,得k2.2k6.8.ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,角C等于角A的2倍,a+b=10,cosA=,求:(1)的值;(2)b的值.思路分析:由C=2A,得sinC=sin2A,利用二倍角公式结合正弦定理可求的值;利用余弦定理及的值联立求b.解:(1)C=2A,sinC=sin2A=2sinAcosA.由正弦定理,得=2cosA=2=.(2)cosA=,又a+b=10,c=,联立,解得当a=5,b=5时,三角形为等腰三角形,由A=B及C=2A可得A=45,这与cosA=矛盾,不合题意,b的值为.我综合 我发展9.在ABC中,角A、B、C对边分别为a、b、c.求证:.思路分析:分析所给的等式左右两边的差异,利用正弦定理、余弦定理实现边、角的统一.证明:由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,得a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.整理,得.依正弦定理,有,,.10.在ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边长,且.(1)求sinB;(2)若b=,且a=c,求ABC的面积.思路分析:本题所给已知条件中,既有边又有角,第一个问题是求其中一内角的正弦,由此容易想到利用正弦定理、余弦定理,把已知条件中的边角之间的关系全部转化为角之间的关系,从而将问题解决.第二个问题容易想到利用三角形相应的面积公式,围绕着公式去考虑需要些什么条件.解:(1)由正弦定理得,又,即sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,sin(B+C)=3sinAcosB.又sin(B+C)=sin(-A)=sinA0,sinA=3sinAcosB.cosB=.又0B,sinB=.(2)在ABC中,由余弦定理,得a2+c2-ac=32,又a=c,=32,a2=24.SABC=.11.某观测站C在目标A的南偏西25方向,从A出发有一条南偏东35走向的公路,在C处测得公路上与C相距31千米的B处有一人正沿此公路向A走去,走20千米后到达D处,此时测得C、D间的距离为21千米,求此人所在D处距A还有多少千米?思路分析:此题主要涉及到方位角,对于方位角不仅要分清东南西北四个基本方向,而且对于一些方位术语也要有清楚的认识才行,否则就容易出错.此题画图分析较好.解:由题意,知CAD=60,cosB=,sinB= .在ABC中,AC=24.由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ACABcosA,即312=AB2+242-2AB24cos60.AB2-24AB-385=0,AB=35或-11(舍).故AD=AB-BD=15千米,此人所在D处距A还有15千米.12.在ABC中,三个内角A、B、C及其对边a、b、c满足.(1)求角A的大小;(2)若a=6,求ABC面积的最大值.思路分析:为了求角A的大小,可以把已知式子边角统一,显然由正弦定理边化角容易实现;要求三角形面积的最大值,需把此面积表示出来,根据三角形的面积公式,转化为求BC的最大值,根据余弦定理可以解决.解:(1)根据正弦定理,已知等式可化为,A+B+C=180,sinB=sin(A-B)-sin(A+B)=sinAcosB-cosAsinB-sinAcosB-cosAsinB=-2cosAsinB.又sinB0,cosA=,A=120.(2)根据余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,而a=6,A=120,所以有36=b2+c2-2bccos120=b2+c2+bc3bc,即bc12.当b=c=时取“=”,从而SABC=bcsinA=bcsin120=bc,因此,当b=c=时,ABC的面积取得最大值.
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