2019-2020年高二数学平面垂直判定与性质 人教版.doc

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2019-2020年高二数学平面垂直判定与性质 人教版课题9.6.3 两个平面垂直的判定和性质(三)教学目标(一)教学知识点1.无棱二面角问题探求.2.多角度多方位解题思想探求.(二)能力训练要求1.通过本节教学提高学生解决问题能力.2.进一步提高学生认知图形能力、空间想象能力.3.从多角度解答问题过程中,感悟等价转化思想运用.(三)德育渗透目标创新精神,实践能力在数学中的体现、渗透.教学重点两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解.教学难点找求问题解决的突破口,转化思想渗透.教学方法从所求二面角出发,诱导学生思考棱的位置确定,从所给图形出发,思考问题解决途径确定.教具准备投影片四张第一张:(记作9.6.3 A)问题一:在所给空间图形中ABCD是正方形,PD面ABCD,PD=AD.求平面PAD和面PBC所成二面角的大小.第二张:(记作9.6.3 B)问题二:如图,斜三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a,侧棱与底面成60角,侧面BCC1B1面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角大小.第三张:(记作9.6.3 C)问题三:如图,几何体中 AA1BB1CC1,AA1面ABC,ABC为正三角形,面A1EC面AC1,EBB1.AA1=A1B1,求面A1EC与面ABC所成二面角的大小.第四张:(记作9.6.3 D)问题四:如图,几何体中,ABCD是直角梯形,ABC=90,SA面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.教学过程.复习回顾1.二面角的平面角找法依据.2.三垂线定理及逆定理.讲授新课师前面研究了如何找一个二面角的平面角,解决的途径有定义法、三垂线法、垂面法,除此外又给了面积射影法求二面角.本节主要研究无棱二面角的求解思路、方法.近几年的高考试题涉及无棱二面角问题的题目也较突出.找无棱二面角的棱依位置可分二类,给出投影片9.6.3 A,思考如何求解:师面PAD和面PBC图中只给出一个公共点,那么怎样找棱呢?请思考.生作线在面内进行,BCAD则经BC的平面与面PAD的交线应平行,由此想到经P作BC或AD平行线,找到棱后的主要问题就是找平面角.解法如下:师生共同完成,边解边在投影片上作线解:经P在面PAD内作PEAD,AE面ABCD,两线相交于E,连BEBCAD则BC面PAD面PBC面PAD=PEBCPE因PD面ABCD,BCCD那么BCPC,BC面PDC即有PE面PDCPEPD,PEPCCPD就是所求二面角的平面角因PD=AD,而AD=DCCPD=45即面PAD与面PBC成角为45.师从整个过程可看到,找棱的过程也是经公共点作表示平面的一线的平行线,而平面角依垂面找到并求得.请同学归纳小结问题一的解法,并完成问题二.给出投影片9.6.3 B:师首先解释一下斜三棱柱,面ABC及面A1B1C1都是几何体底面且平行,CC1AA1BB1.生A是面AB1C1和面ABC的一个公共点,这两个面的棱图中也没有给出.但由上下两面平行应有交线平行于B1C1,此题难点就是如何找平面角.师考虑面BB1C1C面ABC及棱长相等两个条件,请同学思考.师生共同完成表述过程,并作出相应辅助线.解:因面ABC面A1B1C1,则面BB1C1C面ABC=BC面BB1C1C面A1B1C1=B1C1BCB1C1,则B1C1面ABC设所求两面交线为AE,即二面角的棱则B1C1AE,即BCAE经C1作C1DBC于D,因面BB1C1C面ABCC1D面ABC,C1DBC又C1CD=60,CC1=a故CD=即D为BC中点又ABC是等边三角形BCAD那么有BC面DAC1即AE面DAC1故AEAD,AEAC1C1AD就是所求二面角的平面角.因C1D=C1DAD故C1AD=45.师请同学小结该题,解决问题关键是什么,难在什么地方.生同问题一,关键是找棱、找角、而找角较难.师继续看问题三,看该问题与前两个问题相同点是什么,不同点是什么?给出投影片9.6.3 C.师此题显然依上述方法去找平行线已不可能.由图B1C1与CE不平行.但与前两个问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点,依公理我们只有去找另一公共点,观察图我们可看到CE与B1C1是同一平面内线,突破口就选在面B1C1CB内,找到点后,二面角的棱也就找到.请同学思考并表述过程.解:A1是平面A1EC与平面A1B1C1的一个公共点,只需找到另一个公共点,即可.因AA1=A1B1=A1C1,连AC1则AC1A1C,AC1A1C=O取BB1的中点E,连EO因面ABC是正三角形,则经B作BGAC有BG面AC1,OEBGOE面AC1因面A1EC面AC1,故E是BB1中点那么EB1CC1CE与B1C1延长后必交于一点F,即F为面A1EC,面A1B1C1的另一个公共点连A1F,则A1F为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的棱因FB1=B1C1=A1B1,A1B1F=120FA1B1=30那么C1A1F=90即A1C1A1F那么CA1A1F(三垂线定理)CAC1为面A1EC与面A1B1C1所成二面角的平面角.CA1C1=45,因AA1BB1CC1而面ABC面A1B1C1面A1EC与面ABC所成二面角大小为45.师找公共点F是解此题关键,问题一、问题二是通过公共点作棱,问题三是通过再找公共点而得棱.因题条件不同而采用不同作法.问题一、问题二找棱的方法不妨叫“作平行线”,问题三的方法叫“找公共点”.继续看问题四 9.6.3 D.师此题也是无棱二面角问题,请同学思考解法生由图可看到,问题的情形,即面与面的关系意味着是“找公共点”法来完成的题目,因AB、CD共面,故考虑AB、CD.师生共同完成求解.解:因AB、CD共面,AD=BC故AB、CD相交,设其交点为EECD,CD面SCDE面SCD,同理E面SAB那么E在面SCD,面SAB的交线上连SE则面SCD面SAB=SE由题AE=AB=SA,SA面ABCD故SESB,面SEB面EBC又EBBC,EB面SEBSB是SC在面SEB内射影SESCBSC就是面SCD与面SBA所成二面角的平面角.在RtSBC中tanBSC=那么面SCD与面SBA所成二面角的正切值为.师请同学在原图上作文章,想想怎样取点,作线能将问题转化为第1类型问题求解.生经思考、分析、添加线,作法如下:要利用问题一、问题二那种“作平行线”而来解决问题,关键是找线,依助表示平面的SAB及SDC显然达不到目的,为此想到三角形的中位线,过程如下:解:分别取SC及SB的中点E、F,连EF,则EFBC,即EFAD故ADEF为平行四边形,那么DEAF,即DE面SAB经S在面SCD内作lDE那么l就是所求二面角的棱.因SA=AB有AFSB又SA面ABCD,则面BSA面ABCD又BCAB,BC面SAB即BCAF故AF面SBC那么l面SBClSB,lSCCSB就是二面角的平面角在RtCSB中,tanCSB=.师问题的解决不一定就一种思路,一条途径,只要多去想条件涉及到的知识点,解决方法总会找到,“柳暗花明又一村”的境界一定能达到.课时小结依图形结构,对两类问题(问题一、问题二为一类,问题三、问题四为一类)分别用“作平行线”法及“找公共点”法完成.但一切问题都不是绝对的,问题四也可经过作线,将问题转化为第一类问题求解.课后作业(一)1.归纳小结本节课问题解决方法,进一步感悟其思想.2.考虑问题四有没有其他解法,从构造图形,面积射影等方面考虑.(1)构造图形解答问题四解:如图,将题所给几何体“装”入正方体,分别取M、N为SE及GF中点连DM,MN,DNSCDN=O,连OM则面DMN面SABSM面DMN,又DM=MN,MODN有DNSO故SOM为面DMN与SDC所成二面角的平面角,也是面SAB与面SDC所成二面角的大小.在RtSMO中,tanMOS=.解法二:还将原几何体“装”入正方体面SAB面EHC故面SAB与面SDC所成二面角等于面EHC与面SDC所成二面角,这还是一个无棱二面角问题“找公共点”延长SD、EH,使之SDEH=G连CG则CG就是面EHC与面SDC所成二面角的棱由题正方体棱长为1,AD=.连CE,则CE=,EG=2,CG=GCE=90,GCEC而SE面EHC故GCSC,SCE就是面EHG与面SDC所成二面角的平面角.tanECS=.故面SAB与面SDC所成二面角正切值为.(2)作辅助面求解问题四.(等价转化)解法三:分别取BC及SB的中点M、N,连AM,MN,AN,则有MNSC,MACD,故面AMN面SDC那么问题就转化为求面SAB与面AMN,所成二面角,棱为AN.解法四:同上思路,找面,使之平行于一面而与另一面相交,图形如下,面GDF面SAB(3)面积射影在问题四中运用分析:如上图所示两个面,面SAB及面SDC所成二面角,若为,则应有cos=其中面SDC在面SAB上射影为SAB,解三角形可求得SSDC=SABS=那么cos=即tan=.解法五:也许还有好的方法,妙的思路(二)1.预习内容 P41 9.7棱柱2.预习提纲(1)棱柱的概念及涉及到元素有哪些?具有性质是什么?(2)长方体体对角线性质是什么?板书设计9.6.3 两个平面垂直的判定和性质(三)无棱二面角问题解析 第1类问题 利用“找公共点”法利用“作平行线”法 小结第2类问题 作业 教学后记
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