2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课后训练新人教A版选修.doc

2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课后训练新人教A版选修1已知a，b，cR，则a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A大于零 B大于或等于零C小于零 D小于或等于零2在ABC中，A，B，C所对的边依次为a，b，c则_.(填“”或“”)3已知a，b，c都是正数，则_.4设x，y，zR，求证：.5设a，b，c为某三角形三边长，求证：a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.6设a，b，c是正实数，求证：.7设a，b，c都是正实数，用排序不等式证明：.8设a1，a2，an；b1，b2，bn为任意两组实数，如果a1a2an，且b1b2bn，求证：当且仅当a1a2an或b1b2bn时，等号成立设a，b，cR，求证：.参考答案1. 答案：B解析：设abc0，所以a3b3c3，根据排序原理，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab.所以a4b4c4a2bcb2cac2ab，即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.2. 答案：解析：不妨设abc，则有ABC.由排序不等式可得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCaBbCcA，aAbBcCaCbAcB.将以上三个式子两边分别相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，所以.3. 答案：解析：设abc0，所以.由排序原理，知，.，得.4. 证明：所证不等式等价于.不妨设xyz，则x2y2z2，xyxzyz.则.于是上式的左边为顺序和，右边为乱序和，由排序不等式知此式成立5. 证明：不妨设abc0.易证a(bca)b(cab)c(abc)根据排序原理，得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ab(cab)bc(abc)ca(bca)3abc.6. 证明：不妨设abc0，则lg alg blg c，据排序不等式，有alg ablg bclg cblg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，且alg ablg bclg calg ablg bclg c，以上三式相加整理，得3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即lg(aabbcc)(abc)故.7. 证明：不妨设abc，则a2b2c2，且，由排序原理，得，两式相加得.(*)又由柯西不等式得(1b1c)2(1212)(b2c2)，.同理，.因此，代入(*)式得abc，因此，不等式得证8. 证明：由题设a1a2an，b1b2bn，则由排序原理得a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbn，a1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1，a1b1a2b2anbna1b3a2b4an1b1anb2，a1b1a2b2anbna1bna2b1anbn1将上述n个式子相加，两边同除以n2，得：当且仅当a1a2an或b1b2bn时，等号成立9. 证明：不妨设abc0，于是a2b2c2，应用排序不等式，得a2b2c2a2b2c2，a2b2c2a2b2c2.以上两个同向不等式相加再除以2，即得.再由数组a3b3c30，仿上可证.综上，可证.