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2019-2020年高中数学 9.10球第四课时教案 旧人教版必修教学目标(一)教学知识点与球有关的综合问题.(二)能力训练要求1.熟练掌握球的性质.2.提高学生解决综合问题的能力.(三)德育渗透目标培养学生善于从整体上抓住事物的主要矛盾,学会分析矛盾、解决矛盾的方法.教学重点学生分析解决综合问题能力的培养和提高.教学难点学生分析解决综合问题能力的培养和提高.教学方法师生共同讨论法通过本节具体例题的分析,不仅要使学生在知识上有所收获,更重要的是使学生从中体会解决综合问题所用的方法与技巧,从而提高学生分析问题、解决问题的能力.教具准备投影片三张.第一张:本课时例1(记作9.9.4 A)第二张:本课时例2(记作9.9.4 B)第三张:本课时例3(记作9.9.4 C)教学过程.复习回顾师前面学习了球的重要性质及体积、表面积公式,并学会了处理一些与球有关的相接切的简单问题.这节课,在此基础上,我们讨论与球有关的几个综合问题,大家要从中体会解题时所用的数学思想、方法与技巧.讲授新课师请看例1(打出投影片9.9.4 A,读题)例1(xx年高考理科12题)一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为A.4B.3C.3D.6学生思考,教师查看,会发现大多数同学采用如下解法.解:设球心O,球半径R,球的内接正四面体为ABCD(如下图),设点A在底面上的射影为H,取BC的中点E,连结AE、DE,则O在AH上,H在DE上,且AE=DE=,OA=OD=R,DH=DE=.在RtOHD中有OH2=OD2-DH2=R2-.又OH2=(AH-R)2=(-R)2,R=.S球=4R2=4()2=3.故选B.(评析完以上解法,教师还应启发学生想出一些较为简便的方法)(打出9.9.4 B,读题)例2在棱长为1的正方体内,有两个球相外切并且分别与正方体的面相切.(1)求这两个球的半径之和;(2)球的半径是多少时,两球体积之和最小.师显然,这是一道与球有关的接切问题,对于这类问题的解决,常常要通过什么途径去实现呢?生作一个适当的截面,将问题转化为平面问题解决.师对于这个题目,我们该怎样作截面呢?生作过球心和对棱的截面.师为什么要这样做呢?生这样截能体现出两个球与长方体的主要元素间的关系.师请大家画出这个截面,完成解题过程.(学生动手做,教师巡视指导)生如图,(1)ABCD为过球心和对棱AB、CD的截面,则AC=.设两个球半径分别为R、r,则AC=AO1+O1O2+O2C=r+(r+R)+R=,R+r=.(2)设两个球体积之和为V,则V=(R3+r3)=(R+r)(R2-Rr+r2)=(R+r)(R+r)2-3Rr=3R2-)R+()2.当R=r=时,V有最小值.(打出投影片9.9.4 C,读题)例3已知棱长为3的正四面体ABCD,E、F是棱AB、AC上的点,且AF=2FC,BE=2AE,求四面体AEFD的内切球半径.师这个图形的背景较复杂,我们应该将四面体AEFD单独移出,欲求内切球半径,需要先确定它的球心位置,如何理解呢?生内切球的球心O到四面体各面的距离相等且都等于内切球的半径.师显然,寻找球心具体位置不容易,看来得想其他办法了.同学们可以互相讨论 研究.(学生分组讨论,教师查看指导)师经过大家充分讨论后,能叙述你们的解题思路吗?生由于该四面体可以分割成以球心为顶点,各面为底面的四个三棱锥,通过其体积关系,求得半径.师集体智慧的力量确实很大,这位同学的代表思路简洁明快,而且还体现了一种重要的数学思想,即分割的思想方法,它在以后的学习中常常用到.(师生共同分析,写出解题过程)解:设四面体AEFD内切球半径为r,球心为O,连结OA、OE、OF、OD,则VAEFD=VOAEF+VOAFD+VOADE+VOEFD.四面体AEFD的各个面的面积分别为SAEF=SABC=,SAFD=SABC=,SAED=SABC=.DEF各边边长分别为EF=,DF=DE=.SEFD=.VAEFD=VABCD=,VAEFD=r(SAEF+SAFD+SAED+SDEF),=r(+).r=.四面体AEFD的内切球半径为.课堂练习一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高是多少?解:如图,设球未取出时高PC=h,球取出后水面高PH=x.AC=r,PC=3r,以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥=AC2PC=(r)23r=3r3.又V球=r3,球取出后水面下降到EF,水的体积为V水=EH2PH=(PHtan30)2PH=x3.V水=V圆锥-V球,即x3=3r3-r3,x=r.故球取出后水面的高为r.课时小结本节课我们通过对三个综合问题的分析,真正体会到了综合问题的特点,同学们要领悟其中所用的数学思想与方法,进一步提高自己思考问题、解决问题的能力.课后作业点P是正四面体ABCD内任一点,求证:点P到四面体各面的距离和为定值.提示:将四面体以点P为顶点分割为四个三棱锥,由体积和为定值来证明距离和为 定值.答案:距离和等于正四面体的高.板书设计球(四)综合问题的解题方法:例1 例2 例3分析 分析 分析解 解 解小结
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