2019-2020年高中数学 6.3不等式的证明（第四课时） 大纲人教版必修.doc

2019-2020年高中数学 6.3不等式的证明（第四课时） 大纲人教版必修教学目标(一)教学知识点分析法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解分析法证明不等式的原理和思路.2.理解分析法的实质执果索因,熟练掌握分析法证明不等式.(三)德育渗透目标分析法证明不等式意在提高学生的数学素质,培养学生的创新意识,加强学生分析问题和解决问题的逻辑思维及推理能力,进一步使学生认识到事物间是有联系的辩证唯物主义观念.教学重点分析法证明不等式,就是“执果索因”,从所证的不等式出发,不断用充分条件代替前面的不等式,直至使不等式成立的条件已具备,就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别对于条件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法.用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是:欲证命题B为真,只需证明命题B1为真,从而又只需证明命题B2为真,从而又只需证明命题A为真,今已知A真,故B必真.简写为:BB1B2BnA.教学难点1.理解分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件.2.正确使用连接有关(分析推理)步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定成立”等.教学方法指导自学法.即通过教师必要的引导,学生自己动手、动脑获取知识,并指导学生总结、归纳分析法，证明不等式的方法思路,使学生在转化“矛盾”中,增强化归、转化意识,树立化归、转化思想,提高化归、转化能力.“执果索因”,去探索证明不等式的途径.教具准备幻灯片一张记作6.3.4 A用分析法证明不等式:(1)设x,yR,且x2-2xy+2y2=2,求证:|x+y|.(2)设a,b,x,yR,且a2+b2=1,x2+y2=1,试证:|ax+by|1.(3)a0,b0,且a+b=1,求证:.教学过程.课题导入师随着我们对不等式证明学习的逐步深入,我们还会遇到这样的问题:面对一个不等式的证明而一筹莫展,无计可施,由题设不易“切入”展开推理.在此情况下,我们可以尝试从目标不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的过程中,逐渐发现解题思路,从而达到证明不等式的目的.今天,我们根据这种基本思路,继续探讨学习证明不等式的又一种重要方法分析法.讲授新课(简述:“分析法”证明不等式的基本思想)师证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立.这种证明方法通常叫做分析法.(关于“分析法”证明不等式,其基本模式在后面“备课资料”中有较详细说明)下面,我们探索分析用“分析法”证明不等式.例1求证:.师显然,目标不等式中含有根式,我们尝试先平方、合并,后对其进行化简,逐步寻求不等式成立的充分条件,以达证题目的.(在教师指导下,请同学们书写证明过程)生均为正数为了证明,只需证明,展开得:10+220即2105,2125.2125成立.成立.即.师生共析证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.例如,在本例中,我们很难想到从“21()2.生证明：设周长为L,依题意,圆的面积为()2,正方形的面积为()2.所以，本题只需证明()2()2,为了证明上式成立,只需证明两边同乘以正数,得因此,只需证明4显然,上式“4”是成立的.故 ()2()2.这就证明了，如果周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大.师生共议同学们，我们想一想,本题是否可以用比较法证明呢?(通过师生共议，在教师启发诱导下,让学生尝试写出证明过程).生证明：设周长为L,依题意,圆的面积为()2,正方形的面积为()2,则:()2-()2L0,4L20,4-00即()2()2.故证明了，如果周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大.师生点评本题中比较()2与()2的大小,除了用分析法、比较法确定大小外，还可用作商法.这是因为，()20,( )201故()2()2.(打出幻灯片6.3.4 A,让学生分三组,在教师指导下进行练习,目的在于激活学生思维,提高学生分析问题,解决问题,灵活应变的能力)师请甲组同学做(1)题,乙组同学做(2)题,丙组同学做(3)题.(学生板书证明过程).(1)设x,yR,且x2-2xy+2y2=2,求证:|x+y|.生甲证明:|x+y| (x+y)210 (x+y)2-5(x2-2xy+2y2)0 -(2x-3y)20这显然成立.故|x+y|.(2)设a,b,x,yR,且a2+b2=1,x2+y2=1,试证:|ax+by|1.生乙证明:|ax+by|1 (ax+by)21 a2x2+2abxy+b2y21 a2x2+2abxy+b2y2(a2+b2)(x2+y2) (bx-ay)20这显然成立.故|ax+by|1.生丙证明:(ax+by)2=a2x2+2abxy+b2y2a2x2+a2y2+b2x2+b2y2=(x2+y2)(a2+b2)=1|ax+by|1(上述证明过程利用了重要不等式:a2+b22ab)(3)a0,b0,且a+b=1,求证:2.生丁证明: 4(a+)+(b+)+24 1 ab+1 ab+1 abab()2=成立故 2.师生共析用分析法证明不等式的关键是,寻求不等式成立的充分条件.因此,经常要对原不等式进行化简,常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所做这些变形是否可以逆推,若不能逆推,则不可使用.课堂练习1.求证:.分析:仿照例1,尝试分析法证明不等式.证明:要证.只需证,即13+213+2亦即,也就是4240.由于4240成立,故成立.2.求证:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)分析:本题运用分析法,在证明过程中,每一步的“只需证”,应该是上一步“欲证”的充分条件,只有这样,才能保证整个证明过程正确.证明:要证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),只需证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcda2d2+b2c2,也就是证(ad-bc)20.由于(ad-bc)20成立,故(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)成立.3.求证:-11.分析:不等式的运算结构复杂,由题设不易“切入”展开推理,尝试运用分析法.证法一:要证-11,只需证-a2-1a2-1a2+1也就是证2a20且-11.由于2a20,且-11成立,故-11成立.证法二:要证-11,只需证0,即0.上式显然成立,所以-1.类似地,可以证明1故-11成立.课时小结这节课,我们学习了“分析法”证明不等式.用“分析法”证明不等式时,其叙述方式很重要,必须突出分析法的语言“特色”,如:“欲证成立,只需证”或采用符号“”或 “”.还要注意,用“分析法”证明不等式的一大优点是,当我们面对一个不等式的证明而一筹莫展,无法下手时,它给我们提供了一个方法,即从目标不等式“倒推”分析,而往往在“倒推”的过程中,会逐渐发现解题思路.因此,分析法从本质上说,只是对问题作尝试与探索的过程(即执果索因).在运用“分析法”时,典型的错误是把所证不等式当作已知条件,如证明命题“若A则B”,错误地写成:“因为B成立,则”.希望同学们很好掌握.课后作业(一)课本P17习题6.3 4、5、9(二)通读课本P1217,巩固理解证明不等式的最基本方法(比较法、综合法、分析法)的基本原理和证题思路.板书设计6.3.4 不等式的证明(四)分析法证明不等式1.基本原理 课堂练习 课时小结2.应用例题 课后作业