2019-2020年高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数练习文.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习第六章平面向量与复数练习文第33课平面向量的概念与线性运算A应知应会1. 给出下列四个命题:如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一方向相同;在ABC中,必有+=0;若+=0,则A,B,C为三角形的三个顶点;若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.其中假命题是.(填序号)2. 若向量a,b不共线,且a+mb与-(b-2a)共线,则实数m的值为.3. 在ABC中,M为边BC上一点,N为AM的中点.若=+,则+=.4. 在ABC中,点M,N满足=3,=.若=x+y,则x+y=.5. 已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中e1,e2不共线,问:是否存在这样的实数,使得向量d=a+b与c共线?6. 如图,四边形ABCD是一个等腰梯形,ABDC,M,N分别是DC,AB的中点.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示,+.(第6题)B巩固提升1. 已知向量e1,e2不共线,=3(e1+e2),=e2-e1,=2e1+e2.给出下列四个结论:A,B,C三点共线;A,B,D三点共线;B,C,D三点共线;A,C,D三点共线.其中正确的结论为.(填序号)2. 在平行四边形ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=.(用a,b表示)3. 若O是ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则ABC的形状为.4. (xx如东期中)已知P是ABC内一点,且+2+3=0.若Q为CP的延长线与AB的交点,令=p,则=.(用p表示)5. 已知a,b是不共线的两个非零向量.(1) 若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C三点共线;(2) 若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;(3) 设=ma,=nb,=a+b,其中m,n,均为实数,m0,n0,若M,P,N三点共线,求证:+=1.6. 如图,在ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点.若=x,=y,试问:+是否为定值?并证明你的结论.(第6题)第34课平面向量的基本定理及坐标运算A应知应会1. 在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若=(2,4),=(1,3),则=.2. 若a+b=(2,-8),a-b=(-8,6),则向量a=,b=.3. 若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=.(用a,b表示)4. (xx九江模拟)若P=a|a=(-1,1)+m(1,2),mR,Q=b|b=(1,-2)+n(2,3),nR是两个向量的集合,则PQ=.5. 已知点A(-1,2),B(0,-2),且2=3.若点D在线段AB上,求点D的坐标.6. 已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且=+t.(1) 当t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第三象限?(2) 四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.B巩固提升1. 已知点M(3,2),N(1,2),向量a=(x+3,x-3y-4),且a与相等,那么实数y的值为.2. (xx苏州、无锡、常州、镇江模拟)已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y).若3a-2b+c=0,则c=.3. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(0,1),C为坐标平面中第一象限内一点,且AOC=,OC=2.若= + ,则+=.4. (xx淮阴中学)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=a+b(,R),则=.(第4题)5. (xx临沂模拟改编)如图,A,B,C是圆O上的三点,线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的一点D.若=m+n,求m+n的取值范围.(第5题)6. 已知m,xR,向量a=(x,-m),b=(m+1)x,x).(1) 若m=4,且|a|1-m对任意的实数x恒成立,求m的取值范围.第35课平面向量的平行与垂直A应知应会1. 若向量a=(1,2),b=(x,1),m=a+2b,n=2a-b,且mn,则实数x=.2. (xx青岛质量检测)已知向量a=(-1,2),b=(3,m),mR,那么“m=-6”是“a(a+b)”的(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件.3. 已知向量a=(sin x,cos x),b=(1,-2),且ab,那么tan x=. 4. 已知向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+b)(a-b),则实数=.5. 已知点A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1) 若A,B,C三点共线,求a,b之间的关系式;(2) 若=2,求点C的坐标.6. 已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1) 若(a+kc)(2b-a),求实数k的值;(2) 若向量d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.B巩固提升1. (xx海安中学)已知向量a=,b=(x,1),其中x0.若(a-2b)(2a+b),则x的值为.2. 在平面直角坐标系xOy中,i,j分别是与x轴、y轴平行的单位向量.在RtABC中,若=i+j,=2i+mj,则实数m=.3. (xx合肥模拟)已知向量=a,=b,且,C为垂足.若向量=a(0),则的值为.(用a,b表示)4. 已知=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a0,b0,O为坐标原点.若A,B,C三点共线,则+的最小值为.5. 已知O为坐标原点,=(2,5),=(3,1),=(6,3),问:在线段OC上是否存在点M,使?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.6. 已知平行四边形ABCD的顶点A(0,0),B(4,1),C(6,8).(1) 求顶点D的坐标;(2) 若=2,F为AD的中点,求AE与BF的交点I的坐标.第36课平面向量的数量积A应知应会1. 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,a,b之间的夹角为60,那么a(a+b)=.2. 已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=.若(a+b)c=,则向量a与c的夹角为.3. (xx常州期末)已知向量a=(4x,2x),b=,xR.若ab,则|a-b|=.4. 在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),函数y=ex的图象与y轴的交点为B,P为函数y=ex图象上的任意一点,则的最小值为.5. 已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4,|b|=2.(1) 求|a+b|;(2) 求|3a-4b|;(3) 求(a-2b)(a+b).6. 已知e1,e2是夹角为60的两个单位向量,a=3e1-2e2,b=2e1-3e2.(1) 求ab;(2) 求a+b与a-b的夹角.B巩固提升1. (xx四川卷)已知四边形ABCD为平行四边形,|=6,|=4.若点M,N满足=3,=2,则=.(第2题)2. (xx苏州调查)如图,AB是半径为3的圆O的直径,P是圆O上异于A,B的一点,Q是线段AP上靠近点A的三等分点,且=4,则=.3. (xx苏州、无锡、常州、镇江二模)在平面直角坐标系中,M是函数f(x)=(x0)图象上的任意一点,过点M分别向直线y=x和y轴作垂线,垂足分别是点A,B,则=.(第4题)4. 如图,在ABC中,已知AB=4,AC=6,BAC=60,点D,E分别在边AB,AC上,且=2,=3.若F为DE的中点,则的值为.5. 已知向量a=,b=cos ,-sin ,且.(1) 求的最值;(2) 是否存在实数k,使得|ka+b|=|a-kb|?6. (xx江苏卷)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点.已知=4,=-1,求的值.(第6题)第37课复数A应知应会1. 复平面内表示复数i(1-2i)的点位于第象限.2. (xx镇江期末)记复数z=a+bi的共轭复数为=a-bi(a,bR),已知z=2+i,那么=.3. (xx南通期末)已知复数z满足(3+4i)z=1,那么z的模为.4. (xx南通、扬州、泰州、淮安三调)已知复数z=(1+i)(1-2i),那么z的实部为.5. 已知复数z=+(a2-5a-6)i(aR),试求实数a的值或范围,使得z分别为:(1) 实数;(2) 虚数;(3) 纯虚数.6. (xx苏北四市期末) 已知复数z满足z2=-4,若z的虚部大于0,求z.B巩固提升1. (xx苏州、无锡、常州、镇江二模)若1+2i=2i(a+bi)(a,bR),则a+b的值为.2. (xx苏州期末)已知复数z=(a0),若|z|=,则实数a的值为.3. 已知复数z=2+sin +sin i,0,2),那么|z|的取值范围是.(第4题)4. (xx泰州期末)如图,在复平面内,点A对应的复数为z1.若=i,则z2=.5. 求一个复数z,使z-为纯虚数,且|z-3|=4.6. 已知复数z1=i(1-i)3.(1) 求|z1|;(2) 若|z|=1,求|z-z1|的最大值.第六章平面向量与复数第33课平面向量的概念与线性运算A应知应会1. 【解析】若a与b长度相等,方向相反,则a+b=0;A,B,C三点可能在同一条直线上;|a|+|b|a+b|.2. -【解析】因为a+mb与-(b-2a)共线,所以存在实数(0)使得-(b-2a)=(a+mb)成立,即(2-)a=(m+1)b.因为向量a,b不共线,所以所以m=-.3. 【解析】设=x+y,x+y=1.因为N为AM的中点,所以=x+y=+,所以+=(x+y)=.4. 【解析】=+=+=+(-)=-,所以x=,y=-,故x+y=.5. 【解答】d=(2e1-3e2)+(2e1+3e2)=(2+2)e1+(-3+3)e2,要使d与c共线,则应存在实数k,使得d=kc,所以(2+2)e1+(-3+3)e2=2ke1-9ke2,即解得=-2.故存在这样的实数,当=-2时,就能使d与c共线.6. 【解答】=+=-a+b+c.=+=-+=a-b-c.+=+=2=a-2b-c.B巩固提升1. 【解析】由=-=4e1+2e2=2,所以与共线.又与不共线,有公共点C,可得A,C,D三点共线,且B不在此直线上,故易判断只有正确.2. -a+b【解析】由=3,得4=3 =3(a+b),所以=(a+b).又=a+b,所以=-=(a+b)-=-a+b.3. 直角三角形【解析】+-2=-+-=+,-=-,所以|+|=|-|,故A,B,C为矩形的三个顶点,因此ABC为直角三角形.4. 2p【解析】因为=+,=+,所以(+)+2(+)+3=0,即+3+2+3=0.又因为A,Q,B三点共线,C,P,Q三点共线,所以设=,=,所以+3+2+3 =0,即(+2)+(3+3)=0.又因为,为不共线的向量,所以解得所以=-=,故=+=2=2p.5. 【解答】(1) 因为=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,=-=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2,所以与共线.又与有公共点B,所以A,B,C三点共线.(2) 因为8a+kb与ka+2b共线,所以存在实数,使得8a+kb=(ka+2b)=ka+2b,从而解得=2,故k=2=4.(3) 因为M,P,N三点共线,所以存在实数,使得=,即-=(-),所以=a+b.因为a,b不共线,所以所以+=+=1.6. 【解答】+为定值.证明如下:设=a,=b,则=xa,=yb,所以=(+)=(a+b),所以=-=(a+b)-xa=a+b,=-=yb-xa=-xa+yb.因为与共线,所以存在实数,使得=,所以a+b=(-xa+yb)=-xa+yb.因为向量a与b不共线,所以消去得+=4为定值.第34课平面向量的基本定理及坐标运算A应知应会1. (-3,-5)【解析】在平行四边形ABCD中,=-=(-)-=-2=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).2. (-3,-1)(5,-7)3. 3a-b【解析】设c=ma+nb,所以(4,2)=m(1,1)+n(-1,1),所以解得所以c=3a-b.4.(-13,-23)【解析】P中,a=(-1+m,1+2m),Q中,b=(1+2n,-2+3n),则解得此时a=b=(-13,-23).5. 【解答】设D(m,n).由2|=3|,点D在线段AB上,可知2=3,即2(m+1,n-2)=3(0-m,-2-n),即2m+2=-3m,且2n-4=-6-3n,解得m=n=-,所以点D的坐标为-,-.6. 【解答】=+t=(1+4t,2+5t).(1) 点P(1+4t,2+5t).当2+5t=0,即t=-时,点P在x轴上;当1+4t=0,即t=-时,点P在y轴上;当1+4t0,2+5t0,即t-时,点P在第三象限.(2) 若能构成平行四边形,则有=,即(1,2)=(3-4t,3-5t),所以无解,故不存在t使得四边形OABP构成平行四边形.B巩固提升1. -【解析】由=(2,0)=a=(x+3,x-3y-4),得解得2. (-23,-12)【解析】因为3a-2b+c=(23+x,12+y)=0,故x=-23,y=-12,则c=(-23,-12).3. 2【解析】因为OC=2,AOC=,所以C(,).又= + ,所以(,)=(1,0)+(0,1)=(,),所以=,故+=2.4. 4【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系.设每个小正方形的边长都为1,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1).所以a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).因为c=a+b,所以(-1,-3)=(-1,1)+(6,2),即-+6=-1,+2=-3,解得=-2,=-,所以=4.(第4题)5. 【解答】因为线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D,所以设=t.因为点D在圆外,所以t-1.又D,A,B三点共线,故存在,使得=+,且+=1.又=m+n,所以tm+tn=+,所以m+n=,所以m+n(-1,0).6. 【解答】(1) 当m=4时,|a|2=x2+16,|b|2=25x2+x2=26x2.因为|a|b|,所以|a|2|b|2,从而x2+1626x2,所以1625x2,解得x.即实数x的取值范围是.(2) ab=(m+1)x2-mx.由题意得(m+1)x2-mx1-m对任意的实数x恒成立,即(m+1)x2-mx+m-10对任意的实数x恒成立.当m+1=0,即m=-1时,显然不恒成立,从而解得m.即m的取值范围是.第35课平面向量的平行与垂直A应知应会1.-2或【解析】由题知(a+2b)(2a-b)=0,所以2a2+3ab-2b2=0,所以10+3(x+2)-2(x2+1)=0,即2x2-3x-14=0,解得x=-2或.2.充要【解析】由题意得a+b=(2,2+m).由a(a+b),得-1(2+m)=22,所以m=-6,则“m=-6”是“a(a+b)”的充要条件.3. -【解析】ab-2sin x-cos x=0tan x=-.4. 3【解析】因为a+b=(3+,3-),a-b=(3-,3+),(a+b)(a-b),所以(3+)(3-)+(3-)(3+)=0,解得=3.5.【解答】(1) 由已知得=(2,-2),=(a-1,b-1).因为A,B,C三点共线,所以,所以2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.(2) 因为=2,所以(a-1,b-1)=2(2,-2),所以解得所以点C的坐标为(5,-3).6. 【解答】(1) 因为(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,解得k=-.(2) 因为d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1, 所以解得或所以d=或d=.B巩固提升1. 4【解析】a-2b=,2a+b=(16+x,x+1),又(a-2b)(2a+b),故(8-2x)(x+1)-(16+x)=0,解得x=4(x0).2. -2或0【解析】因为ABC为直角三角形,所以,当时,(i+j)(2i+mj)=0,解得m=-2;当时,(i+j)i+(m-1)j=0,解得m=0;当时,无解.综上,m=-2或0.3. 【解析】因为=-=a-b,又因为,所以(a-b)a=0,所以=.4. 【解析】由已知得=(-a+2,-2),=(b+2,-4).又,所以(-a+2)(-4)-(-2)(b+2)=0,整理得2a+b=2,故+=(2a+b)+=3+3+2=(当且仅当b=a时,等号成立).5. 【解答】设存在点M,且=(6,3) (01),所以=(2-6,5-3),=(3-6,1-3).因为,所以(2-6)(3-6)+(5-3)(1-3)=0,即452-48+11=0,解得=或=,故点M的坐标为(2,1)或.所以在线段OC上存在点M,使,且点M的坐标为(2,1)或.6. 【解答】(1) 设点D(a,b).因为=,所以(a,b)=(6,8)-(4,1)=(2,7),所以顶点D的坐标为(2,7).(2) 设点I(x,y).由(1)知F的坐标为.因为=2,故(xE-2,yE-7)=2(6-xE,8-yE),解得xE=,yE=,故E.又=,=(x-4,y-1),由,得(x-4)=-3(y-1);由,得x=y.联立方程组可得x=,y=,即点I的坐标为.第36课平面向量的数量积A应知应会1. 【解析】a(a+b)=a2+ab=1+|a|b|cos 60=1+13=.2. 120【解析】因为a+b=(-1,-2),故a+b与a方向相反,且模相等.设向量a+b与c的夹角为,则cos=,所以c与a+b的夹角=60,所以a与c的夹角为120.3. 2【解析】因为ab,所以4x+2x=4x+2x-2=0,解得2x=-2(舍去)或2x=1,故a=(1,1),b=(1,-1),故a-b=(0,2),所以|a-b|=2.4. 1【解析】由题意得B(0,1).设P(x,ex),则=(-1,1),=(x,ex),所以=-x+ex.令f(x)=ex-x,则f(x)=ex-1.令f(x)=0,得x=0,求得最小值为f(0)=1.5. 【解答】由题知ab=|a|b|cos 120=42=-4.(1) |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=12,所以|a+b|=2.(2) |3a-4b|2=9|a|2-24ab+16|b|2=1619,所以|3a-4b|=4.(3) (a-2b)(a+b)=|a|2-2ab+ab-2|b|2=12.6. 【解答】(1) 由题知e1e2=cos 60=,所以ab=(3e1-2e2)(2e1-3e2)=6-13e1e2+6=6-+6=.(2) a2=(3e1-2e2)2=9-12e1e2+4=9-6+4=7,b2=(2e1-3e2)2=4-12e1e2+9=7,而(a+b)(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b的夹角为90.B巩固提升1. 9【解析】=+,=-=-+,所以=(4+3)(4-3)=(16-9)=(1636-916)=9.2. 24【解析】因为=(+)=4,所以=12,因此=(+)=-=36-12=24.3. -2【解析】设M(t0),则|=,|=t,所以=|cos135=t=-2.4. 4【解析】方法一:记,方向上的单位向量分别为a,b,则a2=b2=1,ab=,=4a,=6b,从而=2a,=2b,=(+)=a+b,=-=b-3a,=-=2b-2a,所以=(b-3a)(2b-2a)=2b2+6a2-8ab=2+6-4=4.方法二:取CE的中点G,连接BG.设BG的中点为M,连接FM,则=,且FMBM,所以=BM2=DE2=22=4.方法三: 以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(3,3),从而D(2,0),E(1,),F,所以=-,=(-1,),所以=+=4.5. 【解答】(1) ab=cos 2,|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=2+2cos 2=4cos2,所以=cos -.因为,所以cos .令t=cos ,则t1,=1+0,所以y=t-在t上为增函数,所以-t-,即所求的最大值为,最小值为-.(2) 由题设可得|ka+b|2=3|a-kb|2.又|a|=|b|=1,ab=cos 2,所以原式化简得cos 2=.由0,得-cos 2 1,所以-1,解得k-1.6. 【解答】方法一:设=a,=b,则=-b,=2a,=3a,所以=-=3a-b,=-=3a+b,=-=2a-b,=-=2a+b,=-=a-b,=-=a+b,所以=9a2-b2,=4a2-b2,=a2-b2.又因为=4,=-1,所以9a2-b2=4,a2-b2=-1,解得a2=,b2=,所以=4a2-b2=-=.方法二:以D为坐标原点,BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.设点B的坐标为(-a,0),点C的坐标为(a,0),点A的坐标为(b,c),所以=(b+a,c),=(b-a,c),=,=.因为=b2-a2+c2=4,=-a2+=-1,所以b2+c2=,a2=.又因为=,=,所以=-a2+=-=.第37课复数A应知应会1. 一【解析】i(1-2i)=2+i,其在复平面内对应的点的坐标为(2,1),位于第一象限. 2. 3-4i【解析】因为z=2+i,故z2=3+4i,所以=3-4i.3. 【解析】因为(3+4i)z=1,所以|3+4i|z|=1.又|3+4i|=5,所以|z|=.4. 3【解析】因为z=(1+i)(1-2i)=3-i,所以z的实部为3.5. 【解答】(1) 当z为实数时,解得a=6.所以当a=6时,z为实数.(2) 当z为虚数时,解得a-1且a6.所以当a-1且a6时,z为虚数.(3) 当z为纯虚数时,解得a=1.所以当a=1时,z为纯虚数.6. 【解答】设复数z=a+bi(a,bR,b0).因为z2=-4,所以(a+bi)2=-4,即a2-b2+2abi=-4,所以解得所以复数z=2i.B巩固提升1. 【解析】因为1+2i=2i(a+bi)=-2b+2ai,所以2a=2,-2b=1,即a+b=.2. -5【解析】由题意知|z|=,所以a=5.又a0,故a=-5.3. ,2【解析】由复数模的定义得|z|=,所以|z|,2.4. -2-i【解析】由图可知z1=-1+2i,又因为=i,所以z2=iz1=i(-1+2i)=-2-i.5. 【解答】设z=a+bi(a,bR),则z-=a+bi-=+i为纯虚数,所以所以或又|z-3|2=(a-3)2+b2=16.当a=0时,b=;当a2+b2=25时,所以z=i或z=34i.6. 【解答】(1) z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),所以|z1|=2.(2) 因为|z|=1可以看成以(0,0)为圆心、1为半径的圆,而z1可以看成坐标系中的点(2,-2),所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆O上的点的最大距离.如图,由图可知|z-z1|max=2+1.(第6题)