2019-2020年高中数学 6.2算术平均数与几何平均数（备课资料） 大纲人教版必修.doc

2019-2020年高中数学 6.2算术平均数与几何平均数（备课资料） 大纲人教版必修一、参考例题例1若ab0，试比较a，b的大小，并利用不等号将它们连接起来.分析：为了探索上述各式之间的大小关系，我们先用特殊值来进行分析和猜想，在此基础上再进行一般性的证明.观察与猜想：令a4，b3，则：a4；=；=；b3当ab时，上述各式都相等，故有猜想：ab.解：ab0（1）a；(2) ；(3)；(4) ，即.(5) b0即b综上所述：a.评述：1.对事物的观察和猜想是一种探索问题及找到方向的有效方法，本题为了分析各个式子的大小关系，通过特殊值的代入进行观察，从而发现一般性的结论，这样为进一步论证提供了方向.2.对于(4)也可以从基本不等式进行推导：.这里，经历了一次利用基本不等式进行论证的过程.3.本题所涉及到的一组不等式是重要不等式，除去我们已知的两个正数a、b的算术平均数（）和几何平均数（）外，这里， 和分别叫正数a、b的平方平均数和调和平均数.对于这四种平均数有如下定理：两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，它们的几何平均数不小于它们的调和平均数.即若a0,b0，则有（当且仅当ab时取“”号）.例2已知a0，b0，c0，且abc1，求证：(1)（1）（1）（1）8；(2)a2b2c2；(3)+27；(4)（1）（1）（1）64.分析：在不等式证明中，n个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.证明：(1)abc1且a0，b0，c0，110；10；10.三式相乘得：（1）（1）（1）8，即（1）（1）（1）8.(2)a0，b0，c0且abc1，1（abc）2a2b2c22ab2bc2aca2b2c2（a2b2）（b2c2）（a2c2）3（a2b2c2）a2b2c2.(3)a0，b0，c0且abc1，（abc）2（）（3）232727(4)a0，b0，c0且abc1，（1）（1）（1）（1）（1）（1）（2）（2）（2）（2）（2）（2）8（1）（1）（1)8（2)（2）（2）64即（1）（1）（1）64.评述：（1）这是一类条件不等式的证明，显然，巧妙地利用已知条件是证明此类题的关键.（2）以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作abc，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1的因式（abc），以利于进一步整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要.（3）本节定理：“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，可以进一步引申出定理：“n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.(见课本P24“阅读材料”).即，一般地，对于n个正数a1，a2，an（n2且nN)，则有，(当且仅当a1a2an时取“”号).显然有：若a，b，c为正数，则：（当且仅当abc时取“”号).二、参考练习题1.选择题(1)“ab2”是“a0，b0”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件答案：B(2)设ba0，且ab1，则此四个数，2ab，a2b2，b中最大的是( )A.b B.a2b2 .2ab D. 答案：A(3)设a，bR，且ab，ab2，则必有( )A.1abB.ab1C.ab1D.ab1答案：B(4)已知a0，b0且ab4，则下列各式恒成立的是( )A. B.1C.2 D.答案：B(5)若ab0，则下面不等式正确的是( )A.B.C.D.答案：C(6)若a，bR且ab，在下列式子中，恒成立的个数为（ ）a23ab2b2 aba3b2a2b3 a2b22（ab1） 2A.4 B.3.2 D.1答案：D(7)设a，b，c是区间(0，1)内的三个互不相等的实数且plogc，q，r，则p，q，r的大小关系是( )A.pqr B.pqrC.rpq D.prq答案：C2.已知xy0，xy1，求证：2.证明：xy0，xy122即23.已知a2，求证：loga（a1）loga（a1）1.证明：a2loga（a1）0，loga（a1）0，loga（a1）loga（a1）loga（a1）loga（a1）2loga（a21）2（logaa2）21即loga（a1）loga（a1）1.4.已知a，bR，证明：log2（2a2b）.证明：a，bRlog2（2a2b）log2（2）log2（22）1即log2（2a2b）.5.若a0，b0，c0，且abc1，求证：.证明：a0，b0，c0，且abc12（ab）（bc）（ca）（ab）（bc）（ca）（）339故.6.已知方程ax2bxc0有一根x10，求证：方程cx2bxa0必有一根x2，使得x1x22.证明：方程ax2bxc0有一根x10ax12bx1c0a0c（）2ba0(方程cx2bxa0必有一根0)x1x2x12故方程cx2bxa0必有一根x2，使得x1x22.备课资料一、参考例题1.解答下列各题：(1)求函数y2x2（x0）的最小值.(2)求函数yx2（x0）的最小值.(3)求函数y3x22x3（0x）的最大值.(4)求函数yx（1x2）（0x1)的最大值.(5)设a0，b0，且a21，求a的最大值.分析：我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值.如，若ab为常数k，则当且仅当ab时，ab就有最小值2；若ab为常数s，则当且仅当ab时，就有最大值s（或xy有最大值s2）.因此，解决这些问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.解：(1)x0 2x20，0y2x22x23当且仅当2x2，即x时等号成立.故当x时，y有最小值3.(2)，当且仅当即x时，等号成立.故当x时，y有最小值3.(3)0x 32x0yx2（32x）xx（32x）（）31当且仅当x32x即x1时，等号成立.(4)0x1 1x20y2x2（1x2）22x2（1x2）（1x2）（）3当且仅当2x21x2即x时，等号成立，当x时，y2有最大值.由题意可知：y0故当x时，y有最大值.(5)a0，b0，且a21a，当且仅当a，即a，b时取“”号.故当a，b时，a有最大值.评述：用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.如下面的几例均为错误的解法：(1)yx2y的最小值为2.错误的原因是，当x0时，就不能运用公式.事实上，当x0时，y0，故最小值不可能为2.(2)y3x22x2x23，y的最小值为3.其错误的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x2x2，显然这样的x不存在，故y没有最小值.(3)yx（1xx2）2（）2当且仅当x1xx2即x1时等号成立.当x1时，y有最大值为1.此种解法的错误在于不是定值.显然当x越大时，也越大，故y无最大值.2.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A、B孔面积忽略不计).分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.解法一：设y为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y，其中k0且k是比例系数.依题意要使y最小，只需求ab的最大值.由题设得：4b2ab2a60 （a0，b0）即a2bab30 （a0，b0)a2b2 2ab30当且仅当a2b时取“”号，ab有最大值.当a2b时有2ab30即b22b150解之得：b13，b25（舍去)a2b6故当a6米，b3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.解法二：设y为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b2ab2a60（a0，b0）a2bab30 （a0，b0）b （0a30）由题设：y，其中k0且k是比例系数，依题只需ab取最大值.y,当且仅当a2时取“”号，即a，b3时ab有最大值18.故当a6米，b3米时经沉淀后流出的水中杂质最少.评述：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程为：(1)先构造定值；(2)出现关系式；(3)验证“”号成立.3.如图，在ABC中，90，AC3，B4，一条直线分AB的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长.分析：本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设中的等量关系，即SBSAB，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BEx，By.解：设Bx，By(0x4，0y5），则SBBBsinBxysinB又SABBA346依题意可知：SBSABxysinB63sinB，xy10又cosB在B中，由余弦定理得：2B2B22BBcosBx2y22xyx2y2162xy164，当且仅当xy时，等号成立.故此时线段EF的长为2.评述：本题从求线段的长度问题转化为求函数的最值问题.而求函数最值是不等式的重要应用，当解析式比较复杂时，利用三角函数的有关知识，巧妙地寻求等量关系，合理变形，是我们常用的一惯手法.从而使我们注意到：数形结合思想是中学数学中的一种重要的数学思想方法.二、参考练习题1.选择题(1)若x0，y0，且xyS，xyP，则下列命题中正确的是( )A.当且仅当xy时，S有最小值2B.当且仅当xy时，P有最大值C.当且仅当P为定值时，S有最小值2D.若S为定值，则当且仅当xy时，P有最大值答案：D(2)ab没有最大值的条件是( )A.a2b2为定值B.a0，b0，且ab为定值C.a0，b0，b0，c0，且abc1，若M（1）（1）（1），则必有( )A.0M B. M1 .1M8 D.M8答案：D(4)下列不等式中恒成立的是( )A.cottan2B.x12.2D.xyz（已知xyz1)答案：B(5)当x0时，y3x的最小值应是( )A.y3xxx3B.y3xx2x3C.y3xD.y3xxx4答案：A(6)当x0时，可得到不等式x2，x3，由此可推广为xn1，其中P等于( )A.nn B.（n1）n.nn1 D.xn答案：A2.填空题 (1)若a2，b3，则ab的最小值为 .答案：8(2)若lgxlgy2，则的最小值为 .答案： (3)函数yx的最大值为 .答案： (4)若直角三角形的斜边长为1，则其内切圆的半径的最大值为 .答案： 3.求函数y的值域.解：显然，y0，且当x0时，有y0.y且当x1时，有y最大值.故函数y的值域为0，.4.设x，y，z0，且2x3yz，求xyz的最大值.解：x，y，z0，且2x3yz230xyz，即xyz当且仅当2x3yz2，即x1，y，z时，xyz有最大值.故xyz的最大值为.5.从边长为2a的正方形纸片的四角各剪去一小块边长为x（0xa)的正方形后再折成一个无盖的盒子，则x为何值时，盒子容积最大?求容积的最大值.解：0xa ax0依题意，得：x（2a2x）222x（ax）（ax）23a3，当且仅当2xax，即x时，盒子的容积最大，且容积的最大值为a3.6.已知直角ABC中，周长为L，面积为S，求证：4S（32）L2.解：设直角AB的两直角边为x、y，则斜边为则Sxy24S故4S（32）L2.7.对任意实数x、y，求Sx22xy3y22x6y4的最小值.解：x，yRSx22xy3y22x6y4（xy1）22（y1）211当x0，y1时，S取最小值1故Sx22xy3y22xy4的最小值为1.8.求函数y的最小值，其中a0.解：a0（1）当0a1时，y2，当且仅当x时，y最小值2.(2)当a1时，令t（t），则有yf（t）t设t2t11，则f（t2）f（t1）0f（t）在，上是增函数y最小值f（），此时x0.综合(1)(2)可知：当0a1，x时，y最小值2，当a1，x0时，y最小值.