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2019-2020年高中数学三角函数的图像和性质教案1湘教版必修2 教学目标一、知识与技能了解周期函数的概念,会判断一些简单的、常见的函数的周期性,并会求一些简单三角函数的周期。二、过程与方法从自然界中的周期现象出发,提供丰富的实际背景,通过对实际背景(现实原型)的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念,再运用数学方法研究三角函数的性质,最后运用三角函数的性质去解决问题。三、情感、态度与价值观培养数学来源与生活的思维方式,体会从感性到理性的思维过程,理解未知转化为已知的数学方法。教学重点周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。教学难点周期函数的概念设计思路创设情境,从自然界中的周期现象出发,通过对P点的圆周运动这一模型的分析,引入周期函数的概念。在研究P点的圆周运动时,给出了y=f(t)的图象;并在研究了三角函数的周期后,给出了y=sinx的图象,让学生从图象上对函数的周期加深理解,让学生体会数形结合的思想。在讲解例2时,充分利用解方程的思想,让学生更易理解。教学过程一、创设情境每年都有春、夏、秋、冬,每星期都是从星期一到星期日,地球每天都绕着太阳自转,公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返,这一些都给我们循环、重复的感觉,可以用“周而复始”来描述,这就叫周期现象。二、学生活动(P点的圆周运动)如图,点P自点A起,绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是:A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B 显然点P的运动是周期运动。设圆的半径为2,每4分钟运动一周。设P到A的距离为y,运动时间为t,则y是t的函数,记为 y=f(t). 则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= =0,(位置在A点)f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= =4,(位置在C点)一般地,点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同,由此能得到这样的数学表达式:f(t+4)=f(t)想一想:f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系?说明它们的实际意义。f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t),运行时间不等,但最终位置相同可以用描点法画出这个函数的图象(如图)它的特征是:在区间(0,4)(4,8)(8,12) 内重复。我们将上面的函数y=f(t)称为周期函数。三、建构数学一般地,对于函数f(x),对定义域内的每一个x的值,每增加或减少一个不为零的定值T,函数值就重复出现,这个函数就叫做周期函数,即f(x+T)=f(x)。(一)、周期函数及周期的定义周期函数定义如下:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。前面函数y=f(t)的周期可以认为是4、8、12、(二)、最小正周期的概念.对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.注意今后不加特殊说明,涉及的周期都是最小正周期. 显然上面的函数y=f(t)的周期T=4.(三)、三角函数的周期思考:正弦函数y=sinx是周期函数吗?即能否找到非零常数T,使sin(T+x)= sinx成立?sin(2+x)=sinx,sin(4+x)=sinx,根据周期函数定义判断它是周期函数,又根据周期的规定,它的周期T=2(最小正值)用几何画板展示周期函数y=sinx的图象,使学生感知其特征。讨论:余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx也是周期函数,并找出它们的周期。 周期分别是2、四、数学运用例1若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示。(1) 求该函数的周期;(2) 求t=10s时钟摆的高度。分析:周期可由两顶点间距离确定,此函数周期T=1.5;根据函数的周期性,f(10)=f(101.5)=f(1021.5)= =f(101.5k)(其中k为整数),直到101.5k=1或2.5为止,即f(10)=f(1)=20.解:(略)例2 求函数f(x)=cos3x的周期。解:设周期为T. f(x)=cos3x=cos(3x+2),f(x+T)=cos3(x+T)由f(x)= f(x+T)得,3x+2=3(x+T),解得T=2/3. 函数f(x)=cos3x的周期2/3.注意:运用了换元方法,u=3x;f(u)=cosu的(最小正)周期是2;即cosu=cos(u+2);由于cos(3x+2) =cos3(x+T)对任一x的值都成立,所以3x+2=3(x+T);f(x)= cos3x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。例3求下列函数的最小正周期T.(1)(2)(3)解:(1) (2) 函数的最小正周期为. (3) 函数的最小正周期为4.总结一般规律:的最小正周期是.令 ,由的周期是,则 因而自变量只要并且至少要增加到,即。例4求证:(1)的周期为; (2)证明:(1) (2) 总结:(1)一般函数周期的定义 (2)周期求法尝试练习(1)求g(x)=2sin()的周期。(2)证明函数(其中为常数,且)的周期.结论:一般的,周期函数y=Asin(x+ )及y=Acos(x+ )(其中A,为常数,且A0,0)的周期T= .五、回顾反思通过这节课的学习,你有哪些收获?1.周期函数、周期概念。一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2.3.函数y=tanx是周期函数,且周期均为.4. 周期函数y=Asin(x+)和y=Acos(x+) (其中A,为常数,且A0,0)的周期的求法。 六、课外作业: 1、举例说明周期现象。.2.、课本3、设m、p、q为自然数,m除以5所得的商是p且余数是q(q5). 显然q是m的函数,记q=f(m). (1)写出这函数的值域;(2)这函数是周期函数吗?若是,则写出周期;若不是,则说明理由。七、设计说明:1、由可感受、能理解的实例出发,感性的认识周期函数的概念。比如创设情境,从自然界中的周期现象出发,建立P点的圆周运动这一模型 。本节课的难点在于周期函数概念的理解,因此在讲解概念之前,通过现实情境帮助理解周期运动,在此基础上理解周期函数的概念就不太困难了。 2、通过对P点的圆周运动这一模型的分析,引入周期函数的概念,体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程。 3、新课程的一个重要理念就是“用教材教,而不是教教材”。在处理例2的过程中,由于课本的解法学生不太易理解,所以,我利用解方程的思想,根据周期函数的概念列出方程,解出周期T,从而降低了难度。 4、在教学过程中,我设计一些思考与练习,变由老师讲解为学生思考、探究,发展了学生的思维能力。第二课时 三角函数的图象和性质课型:新授课课时计划:本课题共安排一课时教学目标:1、能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象2、掌握五点法作正、余弦函数图象的方法,并会用此方法画出上的正弦曲线、余弦曲线教学重点:正、余弦函数的图象的画法教学难点:借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象教学过程:一、 创设情境,引入新课为了更加直观地研究三角函数的性质,可以先作出它们的图象,那么该怎样作出正、余弦函数的图象?二、 新课讲解1、正弦函数图象的画法先画正弦函数的图象。由于是以为周期的周期函数,故只要画出在上的图象,然后有周期性就可以得到整个图象。(1)几何法:利用单位圆中的正弦线来作出正弦函数图象(注:如何作出函数图象上的一个点,如点?不妨设,如图所示,在单位圆中设弧的长为,则。所以点是以弧的长为横坐标,正弦线的数量为纵坐标的点。)作法步骤:将单位圆十二等份,相应地把轴上从0到这一段分成12等份。把角的正弦线向右平移使它的起点与轴上表示的点重合,再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数在区间上的图象。最后只要将函数, 的图象向左、右平移(每次个单位),就可以得到正弦函数的图象叫做正弦曲线。(2)五点法:在函数的图象上,有5个关键点:,注意正弦曲线的走向,将这五点用光滑的曲线连接起来,可得函数的简图。2、余弦函数图象的画法(1)几何画法:利用余弦线来作出余弦函数的图象(2)由正弦函数的图象依据诱导公式变换可得到由 可知将的图象向左平移个单位几得到的图象。(3) 五点法:在函数,的图象上,五个关键点为,利用此五点作出的简图。三、例题剖析:例1、用五点法画出下列函数的简图:(1), (2),解:(1)先用“五点法”画一个周期的图象,列表:010-10120-202描点画图,然后由周期性得整个图象;(图略)(2)列表:00010-10描点画图,然后由周期性得整个图象(图略)四、练习1、画出下列函数的简图,并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系:(1) (2)2、画出下列函数的简图,并说明这些函数的图象与余弦曲线的区别和联系:(1) (2)五、课堂小结:1、正弦函数的几何画法;2、五点法作图第三课时 三角函数的图象与性质课型:新授课课时计划:本课题共安排一课时教学目标:1、掌握正、余弦函数的定义域和值域;2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念,会求它们的周期,会判断它们的奇偶性;3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点:正、余弦函数的性质教学难点:正、余弦函数的单调性教学过程:一、创设情境,引入新课我们已经知道正、余弦函数都是周期函数,那它们除此之外还有哪些性质呢?二、新课讲解知识要点:1、定义域:函数及的定义域都是,即实数集2、值域:函数,及,的值域都是理解:(1)在单位圆中,正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的,所以,即,。(2)函数在时,取最大值1,当,时,取最小值-1;函数在,时,取最大值1,当,时,取最小值-1。3、周期性正弦函数,和余弦函数,是周期函数,都是它们的周期,最小正周期是。4、奇偶性正弦函数,是奇函数,余弦函数,是偶函数。理解:(1)由诱导公式,可知以上结论成立;(2)反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于轴对称。5、单调性(1)由正弦曲线可以看出:当由增大到时,曲线逐渐上升,由-1增大到1;当由增大到时,曲线逐渐下降,由1减至-1,由正弦函数的周期性知道:正弦函数在每一个闭区间上,都从-1增大到1,是增函数;在每一个闭区间上,都从1减小到-1,是减函数。(2)由余弦曲线可以知道:余弦函数在每一个区间上,都从-1增大到1,是增函数;在每一个闭区间上,都从1减小到-1,是减函数。练习:不求值,分别比较下列各组中两个三角函数值的大小:(1)与; (2)与例题剖析例3、求下列函数的最大值及取得最大值时自变量的集合:(1); (2)例4、求函数的单调增区间。练习:求函数的定义域;(2)求函数的值域;
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