2019-2020年高三数学 4.1复数的概念(备课资料)大纲人教版选修.doc

2019-2020年高三数学 4.1复数的概念(备课资料)大纲人教版选修备课资料论数学求简精神的培养谢全苗（浙江上虞中学312300）简化解答虽不是突破性的进展和创造，却也是对已经取得成果的改造和推进.对学生来说，则是一种对所学知识的灵活运用和高超驾驭基础上的创新，是一种精神的升华和对数学美的追求.从中体现出思维的批判性、深刻性、广阔性、敏捷性和解题的艺术性.因此，培养学生的求简精神，不仅是正确、迅速解题的需要和保证，而且是优化思维品质、领悟数学精神、提高创新能力的有效途径.我们知道“简单是真的印记”.简单性是科学工作者始终追求的目标.这里的简单性不是指简易、单薄、初等，而是要用简单的概念、公式概括众多的事实.因而，这种简单同时又显得广阔、深远.最典型的例子是爱因斯坦的质能关系式E=mc2,它深刻地揭示了微观、宏观、无数质能变化的规律，而其式子却极其简单.数学中的求简主要是体现在自身逻辑结构的简明、表达式的简洁和证明（求解）方法的简捷.法国数学家狄德罗说：“数学中所谓美的解答，是指一个困难复杂问题的简易回答.”高斯更是说：“去寻求一种最美和最简捷的证明，乃是吸引我去研究它（数学）的主要动力.”所以，如何在数学教学中培养学生的求简精神，既关系到最大限度地调动学生学习数学的积极性，又关系到学生的创新和创造能力的培养，是值得我们去探索和研究的课题，文1就数学的求简精神作了较全面的论述，读后颇受启发，笔者在文2中就培养学生的求简意识和创新能力谈了自己的看法.本文结合教学实践，就如何在数学教学中培养学生的求简精神谈点自己的认识和体会，供大家参考.1.求简精神蕴含在中学数学教材的许多内容之中在中学数学的许多内容中都可显示出求简精神，它们都是培养求简精神的好素材，有待我们很好地去开发和运用.例如，反正弦函数、反余弦函数的主值区间分别规定为,0,.能不能各取另外一段“等长”的区间，如,与-,0作主值区间呢？完全可以，不过在运算和各种应用中，后者不如前者简便.所以如此，是因为前者区间选取符合：在正与负之间选正；在对称与不对称之间选对称；在与原点远与近之间选近的求简原则.再如，椭圆方程的推导：设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0),M与F1和F2的距离的和等于正常数2a,则F1、F2的坐标分别是（-c,0）、（c,0）.椭圆就是集合P=M|MF1|+|MF2|=2a.因为|MF1|=|MF2|=得方程将这个方程移项，两边平方，得a2-cx=a.两边再平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2.整理，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).由椭圆定义可知2a2c, 即ac,所以a2-c20.设a2-c2=b2(b0)，整理，得 (ab0).分析上述方程中每个环节（运算）的作用与意义：（1）首先受数学美和求简精神的驱使，使建立的坐标系、所设的点坐标都对称和谐；（2）在推导中首先得到的式，事实上这已是椭圆方程，但由于它既不符合数学简洁美的特性，又不能反映椭圆的基本特征（长半轴与短半轴的长），因此需要简化：但因左边是两个根号之和，于是就可移项平方得到式，整理后还有一个根号，于是再平方，进一步简化得到式；式虽比式简单，但还是没有达到数学简洁美的最高境界，故用变量代换（补美思想）：设a2-c2=b2(b0)得到具有简洁美、对称美等许多优点的式，我们称它为椭圆的标准方程.（3）为何这里（教材）要规定b0，能不能规定bbcB.cbaC.acbD.bca分析：“一般化”.因为恒有logn(n+1)1(n2,nZ)，当n越大时，logn(n+1)越接近于1.因此大胆地猜想n越大logn(n+1)越小，故答案为A.若是解答题，使用此法只能得零分，但对选择题，这个解法是可取的，而且简捷，本题若用推理来进行证明，那就难了.(3)配凑求简“一凑假设，二凑结论”是成功运用数学归纳法证题的关键.同样，在解决许多问题时，也需要“两边凑”.这乃是因为在思考问题的过程中，既要追溯结论成立所必需的各种条件，又需探索条件与结论之间的最佳联系，从而获得简捷的解法.如在应用基本不等式解题时，“配、凑”更是成为一项不可缺少的技术和基本功.(4)回到定义求简定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程.有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”.例3一直线被两直线l1:2x+y+3=0和l2:2x-3y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标的原点.求这条直线的方程.简析略解：此题的一般求解思路是：先求出l分别与l1、l2的交点（用kl表示），然后利用中点坐标公式求出kl，进而得到l的方程，这样运算量太大.如果我们对直线与方程的定义有深刻地理解，就会自觉地利用定义，并结合运用设而不求的技术寻求简捷解法.设l分别与l1、l2交于点M、N，又设M的坐标为（x1,y1）,则有2x1+y1+3=0.又因为M、N关于O对称，所以点N的坐标为（-x1,-y1），则有-2x1+3y1-6=0.2+,得2x1+5y1=0.可见M（x1,y1）在l:2x+5y=0上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为2x+5y=0.(5)整体处理求简有些问题，从表面上看需要局部求出各有关量，但实质上若从整体上去把握，处理这些量之间的关系，会使思路更简洁，解法更巧妙.例4若aR,求证：a8-a5+a2-a+10.分析：对于高次不等式，用不等式的基本证法来证往往失效.若采用分解区间讨论的方法，又显然麻烦.如果注意到不等式左边的多项式中字母次数的特点，令x=a4，来整体处理，则问题变成证明二次三项式f(x)=x2-ax+(a2-a+1)之值为恒正，从=-3(a-)2-0恒成立，故原不等式得证.(6)数形结合求简数形结合法是启发法的一种，其核心不是数形，而是“结合”.它虽不能保证问题总能得到解决，但它保证在大多数情况下能够使问题得到较简捷的解决，而不需要花大量的运算和推理，尤其是在许多复杂的情况中能起到良好的启发作用，给解题带来意料不到的成功.4.要在培养求简精神中去优化学生的思维品质求简要求不断创新.“数学中每一步真正的进步都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的复杂的东西抛到一边.数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.”(希尔伯特语)培养求简精神能很好地锤炼学生思维的批判性、深刻性、广阔性、敏捷性和灵活性.如思维的灵活性就是指善于根据问题变化的情况及时提出符合实际的解决问题的方法，善于用新的观点和方法去考虑问题.思维灵活的人能及时摆脱陈旧的、不合适的解决问题的方法，并灵活地采用新的、更简单的方法.在解题教学中，可有目的地精心编拟一些问题，让学生思考，通过点拨、启发、比较，进而激发学生积极思考和寻求解决问题的新的更简单的方法的欲望，以在解决问题的实践中去训练和优化学生的思维品质.例5（1994年高考题）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线对称，那么a等于()A. B.-C.1D.-1下面是这一问题在不同思维水平下的求解对策：解法一:按常规思路，将函数化为y=sin(2x+),其中tan=a.函数y的对称轴方程可由2x+=k+(kZ),得,所以，即=k+.故tan(k+)=a,得a=-1.选D.解法二:记f(x)=sin2x+acos2x,由函数f(x)的图象关于直线对称，知f(x)=f(-x-)，即sin2x+acos2x=sin2(-x-)+acos2(-x-).所以（a+1）(sin2x+acos2x)=0对一切xR恒成立，必须a+1=0,即a=-1.选D.解法三:从解法二知，对一切xR,恒有f(x)=f(-x-).故令x=0,则有f(0)=f(-)，所以a=-1,选D.评析：学生通常习惯于解法一（通法）来求解（做对的），但这样做有“小题大做”之嫌，有“隐性失分”之患，在素质教育和重基础、考能力的今天，墨守成规，捧住所谓的“通法”不放是行不通的.而解法二活用了对称变换，较为巧妙；解法三则又结合“赋值法”，令x=0，显然巧中有活，活中有“0”（灵）.可见解法二，特别是解法三反映了较高的思维层次，体现出思维的批判性、深刻性、广阔性和灵活性.这正是我们在学习和训练中要达到的优化学生的思维品质的目标之一.明天的创造源于今天的学习，未来的创造能力和创新精神得益于今天有效的学习和科学的训练.今天对解答的小小化简对已经取得成果的处处改造和推进（求简精神的培养），却为明天的创造奠定了扎实的能力基础，做好了意识和精神的准备.我们要刷新观念，用创新教育去培养学生的求简精神，既要力求从最基本的概念、公式、定理的教学中去体验简洁美，又要力求从最少的问题中去发现最多的规律，受到最好的启发，让学生在求真、求简、求美的过程中去不断探索，不断创新.参考文献1.刘云章.试论数学的求简精神.数学通报，xx，7.2.谢全苗.培养求简意识提高创新能力.中学数学教学参考，xx，10.3.谢全苗.研究性学习在高三教学中的尝试.数学通讯，xx,1.4.谢全苗.数学解题教学中要辩证地看待“通法”与“巧法”.数学通报,xx,6.选录数学通报xx，2