2019-2020年高三数学 三角函数的概念、图象、性质教案同步教案 新人教A版.doc

2019-2020年高三数学 三角函数的概念、图象、性质教案同步教案 新人教A版一、教学进度 高考总复习之九-三角函数的概念、图象、性质 角的定义，弧度制，终边相同的角，象限角，三角函数的定义，各象限三角函数的符号，同角三角函数间关系，诱导公式，三角函数线，三角函数的图象和性质。二、学习指导用平面内射线端点旋转的观点定义角，由于运动中存在“向什么方向转”和“转多少”的问题，从而把角的范围扩大到了整个实数集。 用弧长与半径的比值来度量角，单位是统一的弧度、而无须象角度制那样用分级单位：度、分、秒，比较先进在数学研究中统统采用它。 把角置于直角坐标系中，同角的终边上非顶点的一点的坐标（x，y）及它列顶点的距离r来定义三角函数，克服了初中时定义的局限性，适应了角的概念的推广，由此定义就可确定各象限角三角函数的符号和同角三角函数间的关系（按记忆法则牢记）以及诱导公式的推导。 根据三角函数的图象记忆三角函数的性质定义域、值域、对称轴方程，对称中心，奇偶性，单调性，周期性，不仅行之有效，而且有列于对数形结合能力的培养。 三角函数线是作三角函数图象的基础，特别二、三、四象限角的三角函数线是难点之一，应予重视。三、典型例题讲评 例1（1）周长为定值m的扇形的最大面积是多少？此时扇形的中心角是多少？ （2）一扇形周长为m，面积为S，这样的扇形是确定的吗？满足怎样的条件，扇形是确定的？此时中心角是多少？内切圆半径是多少？ 第（1）小题中可设扇形半径为r，则弧长为m2r，则其面积S=r(m2r)的最大值，只要利用二次函数或基本不等式即可求出： 第（2）小题是“开放性问题”，由（1）知，S=r(r)是关于r的二次方程，如果有实根，两根均正，故可用判解式解决它。 例2是第三象限角，是否存在实数m，使关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两根恰当sin和cos？若存在求出相应的m，若不存在，说明理由。 为第三象限角，故sin，cos(1，0)如果这样的m存在，则故m0，由两式消，9m28m20=0，m=2（舍去）若此时不仅使+cos，cos，还使与方程判别式0，则此m即为所求，但本领中m=2，m=，故不存在.例3设sin+cos=k，若sin3+cos30成立，求k的取值范围.用k来表示sin3+cos3：k(1)0成立，亦即k(k23)0，同时注意到k=sin(+) 的取值范围即可求了k的范围.例4设函数f (x)满足2f (sinx)+3f (sinx)= 4sinxcosx（x，）（1）判断f(x)的奇偶性。（2）求出f(x)的解析式由2f(sinx)+3f(x)= 4xcosx，以x代x，有2f(sinx)+3f(sinx)=4sinxcosx两式相加，5(f(sinx)+f(sinx)=0，知f(x)为奇函数于是原式即f(sinx)= 4sinxcosx，x， cosx=，f(x)=4x x1，1例5已知函数f(x)=Asinx+Bcosx （0）的最小正周期为2，当x=时，f(x)取得最大值2.（1）求f(x)的表达式；（2）在，上是否有x0，使x=x0是f(x)的对称轴？如果存在，求对称轴方程，如不存在，说明理由。f(x)=sin(x+)，其中tan=，由T=2，知=，故+=2k+，tan=与=2联立，可解得A、B.第（2）小题只须写出对称轴的一般方程，看有无合适的k即可。例6讨论函数f(x)=cos2(x)2 cos(x)cosxcos+cos2的奇偶性，周期性，单调性，值域。本题中把f(x)化简是关键，配方后，利用两角差的余弦公式，做三角题，相关公式要熟记，才能“见景生情”、“浮想联翩”例7已知函数f(x)=a+bcosx+csinx的图象过A（0，1）和B（，1）两点，当x0，时，恒有2，求实数a的取值范围。当a上述范围内的最大整数值时，若存在实数m、n、，使mf(x)+nf(x)=1，求m、n、的值f(x)图象过A、B可求得b与a、c与a的关系。 恒有2，即最大值2，最小值大于等于2，可以讨论a与1的大小关系加以解决，也可换无后无作直线段，加以解决（见附录） 后半题一下涌出3个未知数的m、n、，似使人无所适从，因是寻找m、n、，使式子恒成立，故可取n个特殊值，解出m、n、后再以验证。巩固练习1已知函数f(x)=12a2acosx2sin2x的最小值为f(a).（1）用a表示f(a)（2）求使f(a)=的a的值，并对此a求f(x) 最大值.2已知函数f(x)=2asin2x2sinx+a+b的定义域为0，值域为5，1求a、b的值.3把函数y=sin(x)cos(x+)的图象向右平移a（a0）个单位后，图象关于直线x=对称。（1）求a的最小值；（2）当a取最小值，x(，)时，图象上任意两点连线的斜率恒大于零。4化简：（1）tantan2+tan2tan3+tan ntna(n+1)（2）(1+tan10)(1+tan20)(1+tan450)5若函数y=f(x)图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象按=(，1)平移，所得新图象的解析式为y=sinx，求f(x)表达式。6右图为函数y=Acos(x+)B的图象的一部分，式中A，0写出该图象的解析式，并求a的值。7求下列函数的值域和单调递增区间。（1）y=；（2）y=sinxcosx+sinx+cosx+1（3）y=log38讨论函数的奇偶性：（1）y=（2）y=sin4xcos4x+cos2x（3）y=lg9函数y=5cos(x)对任意实数a，在a，a+3上的值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k.10、(cos)，x0，f(x)=()x+()x，+是f(x)2的什么条件？证明你的结论。参考答案1（1）f(x)=2cos2x2acosx2a1当1，1，即a2，2时，f(a)=2a1.当a2时，f(a)=22a2a1=14a当a2时，f(a)=2+2a2a1=1f(a)= 2a1 x2，2 14a x（2，+） 1 x（，2） （2）令2a1= a=1或3 a=1 令14a=, a=2， 舍去. a=1，此时f(x)=2a2x+2ax+1，最大值为2+2+1=52记t=sinx0，1，f(t)=2at22at+a+b的对称轴为t=，故f()=b和f(0)=a+b为其最值，当a0时当a0时3（1）把函数y=sin(x)cos(x+)=sin(x)cos(x+)=sin(x+x)=sin(2x+)，它关于x=对称，故22a+=k+（kZ）a=+，（kZ）a的最小正值为.（2）此时，y=sin2x x(，). y/=cos2x2=cos2x，2x(，)，恒正故比较函数图象上任两点连线斜率恒正。 设学过导数的同学，也可采用如下办法：对任意的x1x2，k=x1+x2(，)，cos(x1+x2)0x2x1（0，），sin(x2x1)0.又x2x10 k04（1）tan(k+1)k=tanktan(k+1)=1.分别取k=1，2，n，并把这n个式子相加，即得原式=n=(n+1)。（2）(1+tank0)(1+tan(45k)0)=1=tank0tan(45k)0+tank0+tan(45k)0=1+tank0tan(45k)0+tank+(45k)0. (1tank0tan(45k)0)=1+tank0tan(45k)0+tan450(1tank0tan(45k)0)=2，又1+tan450=2 原式=223.5把y=sinx按=(，1)平移后解析式为y=sin(x)+1，纵坐标不变，横坐标变为原来的，则其解析式为y=sin(2x)+1. 也可表示为y=1cos2x.6A=2，B=1。y=2cos(x+)1.过原点，故0=2cos1，取=或.过（，1）故1=2cos(+)1，+=2k.= 4k2（kZ）过（1，0）故0=2cos(+)1 *若=，则= 4k，*式为2cos(4k+)1=0.成立.若=，则= 4k+，*式为2a(4k+)1=0，也成立.又T=2，=.f(x)=2cos(x)1.T=3，a=3+1= 4.7（1）y=2cosx(1+cosx) （cosx1）y，4原函数的单调递增区间，即使cosx的单调递减空间和使cosx，1的单调递增区间。原函数的单调递增区间为及2k，2k （kZ）（2）Y=sin2x+cos(x)+1=cos(2x)+cos(x)+1=cos2(x)+cos(x)+0，+单调增区间：x2k+，2k+或2k，2k即x2k+，2k+及2k，2k+ (kZ)（3）y=log3=log3tan(x)R.单调增区间：x(k，k+)，x(k+，k+) （kZ）8（1）y=tan=tan (tan1)k+且k，x2k+且x2k. (kZ)。定义域不是关于原点的对称区域，不是奇偶数，也不是偶函数。（2）y=(sin2x+cosx)(sin2xcos2x)+cos2x=cos2x+cos2x=0f(x)是奇函数，也是偶函数.（3）定义域：esinxesinx sinx0，x(2k，2k+)（kZ）不是奇函数，也不是偶函数。9又T=，arccos=2k+1， 2k+1=7， k=3.10充要条件 +，故，两边均(0，)，sinsin ()=cos0(0，1)， 同理(0，1)，而x0.()x（0，1），()x(0，1)()x+()x2。类似地，若+=，则=1，f(x)=2，若+，则，均大于1，f(x)2.f(x)2的充要条件是+.六、附录例1（1）设扇形半径为r，则弧长为m2r，于是扇形面积S=r(m2r)=(2r)(m2r)()2=，等号当且仅当r=时，此时l=m=，中心角=2.（2）设扇形半径为r，则S=r(m2r).r2r+S=0， =4S当m216S时，上方程有两不等正根，故m3=16S时，方程仅有一正根，即r是唯一确定的，此时r=，中心角=2.2r+r=m，=，sin=sin.证内切圆半径为R，则sin=.=sin1 R=例2若这样的m存在，则应有 sin+cos=m sincos=(2m+1) 22. 9m28m20=0，m=2或.又为第三象限内，sin+cos=sin(+)而当m=2时，m=,m=时，m=，均不在上述范围内，故这样的m不存在.例3由已知,k=sin(+)，又k2=1+sincos.sin3+cos3=(sin+cos)(1sincos)=k(1)0.即k(k)（k+）0，得k(，+)(，0).k.例4由已知2f(sinx)+3f(sinx)= 4sinxcosx. 以x代x 2f(sinx)+3f(sinx)=sinxcosx.两式相加，可得f(sinx)+f(sinx)=0，f(x)必当奇函数.从而原式即f(sinx)= 4xcosx.又x，cosx=. sinx1，1.f(x)= 4x，x1，1.例5f(x)=sin(x+)，其中tan=.由T=2知=.当x=时，sin(+)=1， =2。+=2+，=tan=+，解得 3x f(x)=sinx+cosx=2sin(x+或f(x)=sinxcosx=2sin(x+)=2sin(x+).对称轴方程为x+=x+, x=k+，取k=5时恰在，中，对称轴方程：x=.例6f(x)=cos2(x)2cos(x)cosxcos+cos2xcos2+cos2cos2xcos2=cos(x)cosxcos2+cos2sin2x=(sinxsin)2+cos2sin2x=sin2x=(1cos2x)f(x)为偶函数，T=，值域为0，1单调递增区间：k，k+ （kZ）单调递减区间：k，k (kZ)例7y=f(x)图象过A、B两点，故有a+b=1和a+c=1.f(x)=a+(1a)cosx+(1a)sinx=a+(1a)cos(x).X0，x，cos(x)，1记cos(x)=t 则f(t)=a+(1a)t，t1，图象为线段，故f(1)=12，2，f()=a+(a)2，2 a，4+3最大整数为8，此时f(x)=87cos(x).m87cos(x)+n87cos(x)=1 *令x=，有8m+n(87sin)=1 令x=，有8m7m+n(87cos)=1. 令x=+，有m87cos+n87=1 令x=+有m(8+7cos)+8n=1 由、消sin，得(m+n)(8m+8n1)=0由、消cos，得(mn)(87)(m+n)1=0若，则m=n=0 *式从不成立.若无解.若 m=n=.若 无解.把m=n=代入sin=0，cos=1，取=此时*式恒为0