2019-2020年高中数学 2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质教案 新人教A版选修1-1.doc

2019-2020年高中数学 2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质教案 新人教A版选修1-1三维目标1.知识与技能掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系2过程与方法能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题3情感、态度与价值观从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美重点、难点重点：由标准方程分析出椭圆几何性质难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好让学生自主探索新知，重难点之处进行反复分析，及时巩固(教师用书独具)教学建议 根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价教学流程(对应学生用书第22页)课标解读1.掌握椭圆的简单几何性质及应用(难点)2掌握椭圆离心率的求法及a，b，c的几何意义(难点)3理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念(易混点)椭圆的简单几何性质【问题导思】已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：1，C2：1.1椭圆C1的焦点在哪个坐标轴上，a、b、c分别是多少？椭圆C2呢？【提示】C1：焦点在x轴上，a5，b4，c3，C2：焦点在y轴上，a5，b4，c3.2怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？【提示】对于方程C1：令x0，得y4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，4)；令y0得x5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(5,0)同理得C2与y轴的交点(0,5)，(0，5)，与x轴的交点(4,0)(4,0).焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上续表焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)离心率e椭圆的离心率【问题导思】观察不同的椭圆，其扁平程度各不一样，如何刻画椭圆的扁平程度呢？【提示】利用椭圆的离心率1定义椭圆的焦距与长轴长的比e，叫做椭圆的离心率2性质离心率e的范围是(0,1)当e越接近于1，椭圆越扁，当e越接近于0，椭圆就越接近于圆(对应学生用书第23页)由椭圆方程研究几何性质已知椭圆16x29y21，求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率【思路探究】(1)所给椭圆方程是标准形式吗？(2)怎样由椭圆的标准方程求得a、b、c的值进而写出其几何性质中的基本量？【自主解答】将椭圆方程化为1，则a2，b2，椭圆焦点在y轴上，c2a2b2，所以顶点坐标为(0，)，(，0)，焦点坐标为(0，)，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型2焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2b2c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标同时要注意长轴长、短轴长，焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍本例中，若把椭圆方程改为“25x216y2400”，试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标【解】将方程变形为1，得a5，b4，所以c3.故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a10和2b8，离心率e，焦点坐标为F1(0，3)，F2(0,3)，顶点坐标为A1(0，5)，A2(0,5)，B1(4,0)，B2(4,0).由椭圆的几何性质求其标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)过(3,0)点，离心率e.【思路探究】(1)椭圆的焦点位置确定了吗？(2)你将怎样求得a2、b2并写出标准方程？【自主解答】(1)由题意知2a4b，a2b.设椭圆标准方程为1或1，代入点(2，6)得，1或1，将a2b代入得，a2148，b237或a252，b213，故所求的椭圆标准方程为1或1.(2)当椭圆焦点在x轴上时，有a3，c，b2a2c2963，椭圆的标准方程为1；当椭圆焦点在y轴上时，b3，a227，椭圆的标准方程为1.故所求椭圆标准方程为1或1.求标准方程的常用方法是待定系数法，基本思路是“先定位、再定量”1定位即确定椭圆焦点的位置，若不能确定，应分类讨论2定量即通过已知条件构建关系式，用解方程(组)的方法求a2、b2.其中a2b2c2，e是重要关系式，应牢记分别求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是6，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解】(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a6，a3.e，c2.b2a2c2945. 椭圆的标准方程为1或1.(2)设椭圆方程为1(ab0)如图所示，B1FB2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|B1B2|2b，cb3，a2b2c218，故所求椭圆的标准方程为1.求椭圆的离心率(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求其离心率(2)若一个椭圆长轴长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率【思路探究】(1)由焦距与短轴长相等，你能得出a、b、c的关系吗？可以用离心率公式求离心率吗？(2)由题意得2bac，如何使用这一关系式求e?【自主解答】(1)由题意得：bc，e2.e.(2)椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列，2bac，4b2(ac)2.又a2b2c2，4(a2c2)a22acc2，即3a22ac5c20，(ac)(3a5c)0.ac0，3a5c0，3a5c，e.求椭圆离心率的常用方法：1直接法：求出a、c后用公式e求解；或求出a、b后，用公式e 求解2转化法：将条件转化为关于a、b、c的关系式，用b2a2c2消去b，构造关于的方程来求解(1)求椭圆1的离心率(2)已知椭圆的两个焦点F1、F2，点A为椭圆上一点，且0，AF2F160，求椭圆的离心率【解】(1)e .(2)设F1F22c，由题意知，AF1F2中，A90，AF2F160，|AF1|c，|AF2|c.|AF1|AF2|cc2a，即(1)c2a，e1.(对应学生用书第25页)混淆长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的概念致误求椭圆25x2y225的长轴长和短轴长【错解】将方程化为标准方程得：x21，a5，b1，长轴长是5，短轴长是1.【错因分析】错解中将长半轴长、短半轴长与长轴长、短轴长混淆了，从而导致错误【防范措施】根据定义，长轴长为2a，短轴长为2b，往往与长半轴长a、短半轴长b混淆，解题时要特别注意【正解】将已知方程化成标准方程为x21.a5，b1，2a10,2b2.故长轴长为10，短轴长为2.1通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程2椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率可以从关于a、b、c的一个方程求得，也可以用公式求得(对应学生用书第25页)1椭圆6x2y26的长轴的顶点坐标是()A(1,0)、(1,0)B(6,0)、(6,0)C(，0)、(，0)D(0，)、(0，)【解析】椭圆的标准方程为x21，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，)【答案】D2椭圆x24y21的离心率为()A.B.C.D.【解析】椭圆方程可化为x21，a21，b2，c2，e2，e.【答案】A3若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m等于()A. B.C. D.【解析】椭圆焦点在x轴上，0m2，a，c，e.故，m.【答案】B4已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，一个焦点是(0,4)，求此椭圆的标准方程【解】由题意：c4，e，a5，b2a2c29.又椭圆的焦点在y轴上，其标准方程为1.一、选择题1(xx济南高二检测)若椭圆的长轴长为10，焦距为6，则椭圆的标准方程为()A.1B.1C.1或1D.1或1【解析】由题意2a10,2c6，a5，b216，且焦点位置不确定，故应选D.【答案】D2椭圆1与椭圆1有()A相同短轴B相同长轴C相同离心率 D以上都不对【解析】由于椭圆1中，焦点的位置不确定，故无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系【答案】D3曲线1与1(0k9)的关系是()A有相等的焦距，相同的焦点B有相等的焦距，不同的焦点C有不等的焦距，不同的焦点D以上都不对【解析】曲线1焦距为2c8，而曲线(10k9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】B4过椭圆1(ab0)左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.【解析】RtPF1F2中，|F1F2|2c，F1PF260，|PF1|，|PF2|，|PF1|PF2|2a，ac.e.【答案】B5设AB是椭圆1(ab0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|F1P1|F1P2|F1P99|F1B|的值是()A98a B99aC100a D101a【解析】由椭圆的定义及其对称性可知，|F1P1|F1P99|F1P2|F1P99|F1F49|F1P51|F1A|F1B|2a，F1P50a，故结果应为502a|F1P50|101a.【答案】D二、填空题6(xx兰州高二检测)若椭圆1的离心率为，则k的值为_【解析】若焦点在x轴上，则1()2，k；若焦点在y轴上，则，k3.【答案】或37椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为_【解析】如图所示，AF1F2为等腰直角三角形OAOF1，即cb，又a2b2c22c2，.【答案】8一个顶点为(0,2)，离心率e，坐标轴为对称轴的椭圆方程为_【解析】(1)当椭圆焦点在x轴上时，由已知得b2，e，a2，b24，方程为1.(2)当椭圆焦点在y轴上时，由已知得a2，e，a24，b23，方程为1.【答案】1或1三、解答题9(1)求与椭圆1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程【解】(1)c，所求椭圆的焦点为(，0)，(，0)设所求椭圆的标准方程为1(ab0)e，c，a5，b2a2c220.所求椭圆的标准方程为1.(2)因椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0)2c8，c4，又a6，b2a2c220.椭圆的标准方程为1.10已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率【解】如图，不妨设椭圆的焦点在x轴上，ABF1F2，且ABF2为正三角形，在RtAF1F2中，AF2F130.令|AF1|x，则|AF2|2x.|F1F2|x2c.由椭圆定义，可知|AF1|AF2|2a.e.图21211如图212所示，在RtABC中，CAB90，AB2，AC，一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|PB|的值不变(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2)试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率【解】(1)以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)，由题设可得|PA|PB|CA|CB|2.由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆不妨设动点P的轨迹方程为1(ab0)，则a，c1，b1，曲线E的方程为y21.(2)由(1)的求解过程知曲线E的方程是椭圆方程，其长轴长为2，焦距为2，离心率为.(教师用书独具)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在一点P使，求该椭圆的离心率的取值范围【解】在PF1F2中，由正弦定理得，则结合已知，得，即|PF1|PF2|.由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a，则|PF2|PF2|2a，即|PF2|，由椭圆的几何性质和已知条件知|PF2|ac，则ac，即c22aca20，所以e22e10，解得e1或e1.又e(0,1)，故椭圆的离心率e(1,1)椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A，B，C(，1) D，1)【解析】设P(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，则(cx，y)，(cx，y)，x2y2c2.又x2y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2y2)maxa2，所以()maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，e.【答案】B