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2019-2020年高中数学 11 正弦定理和余弦定理教案4 新人教版必修51. 若之三邊長為,為其內切圓半徑,則其面積=(已知兩邊及其夾角時)=(Heron公式)(已知三角形三邊)=。(可用於已知三角形三邊求內切圓半徑) 重要例題:1. 設中,求其面積。2. 在中,為的分角線且交於點,試證:。若,則 。類1. 中,若,則其面積為 。類2. 中,面積為4,則 。類3. 單位圓之內接正三角形面積為 。類4. 若為四邊形之對角線與的一個交角,試證:四邊形面積=。類5. 凸四邊形中,則四邊形的面積= 。Ans: 1. ,2. ,3. ,4. 略,5. 。重點整理:正餘弦定理2. 正弦定理:中,為其外接圓半徑,則。3. 面積=。4. 餘弦定理:中,則或寫成。同理可寫出 ; 。5. 鈍角三角形的判別:三角形中,為鈍角若且唯若。6. 海龍公式:設的三邊長為,則其面積為。7. 投影定理:中,則, , 。重要例題:1. 中,試解。2. 設三角形兩邊長為10,6,夾角為,則第三邊長為,三角形面積為 。3. 在中,已知,,解此三角形。4. 已知二邊與一角,則之面積。類1. 已知,試解。類2. 中,已知,其最短邊為2公尺,試求(1)其他二邊的長為 ,(2)面積為 。類3. 已知三邊長為,求三內角。Ans: 1. ,2. (1),(2),3. 。5. 三邊長為,且,則(1)= ; (2) ;(3) 最大角為 ;(4) ;(5)若周長為15,則其面積為 ;(6)之外接圓面積為 ;(7)內切圓面積為 。類1. 中,則之外接圓半徑為 。類2. 中,且AB,則(A) (B) (C) (D) (E)類3. 中,三邊之和為,則最長邊為 。類4. 在中,已知,且與為的兩根,則的外接圓半徑等於 (A) (B) (C) (D) (E)。(84.社)類5. 半徑10的圓周上有三點,若,則面積= 。類6. 中,已知,則為 。(銳角、直角或鈍角)類7. 設的三邊分別為,若,則 。 類8. 中,若,則其外接圓之直徑為 。類9. 設中,則 。(84.自)類10. 中,若,則 , ,外接圓半徑= 。類11. 設圓內接四邊形中,求?類12. 若,則 。Ans: 1. ,2. ABCD,3. ,4. C,5. 24,6. 銳角,7. ,8. ,9. ,10. ,11. , 12. 。6. 圓內接四邊形,則對角線 ,= 。類1. 圓的內接四邊形中,已知,則 ,面積= 。類2. 如右圖,為半圓的直徑,、為半圓周上兩點。令,。試證:為方程式的一根。(81.自)Ans: 1. 3,,2. 略。7. 設中,若為上異於之一點,求?8. 敘述並證明平行四邊形定理,並利用此定理敘述並證明三角形的中線定理。類1. 在中,若為邊之中線,為之角平分線,則= ,= 。類2. 中,的角平分線交於。已知,則(1)的面積為 。(2)線段的長度為 。(3)的面積為 。(85.社)ABDC類3. 已知三邊長分別為,延長至,如右圖所示,使得,則 。(86.社)類4. 中,內分為,求?Ans: 1. ,2. (1),(2),(3),3. ,4. 5。9. 若之三邊所對應之高分別為,則其最小內角的餘弦為 。三邊長為 。類1. 若之三邊所對應之高分別為,則其最小內角的餘弦為 。Ans: 1. 。10. 設滿足下列條件,試分別判別其形狀:(1) 。(2) 。(3) 。類1. 在已知三角形中,三內角的正弦比 ,則此三角形為銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形?類2. 已知,則為 ?類3. 已知,則為 ?Ans: 1. 直角,2. 直角,3. 等腰。
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