2019-2020年高中数学第2章统计2.4线性回归方程教学案苏教版必修3.doc

2019-2020年高中数学第2章统计2.4线性回归方程教学案苏教版必修31变量间有哪些常见关系？ 2什么叫散点图？怎样作出散点图？ 3.什么叫线性回归方程？ 1变量间的常见关系(1)函数关系：变量之间的关系可以用函数表示，是一种确定性关系(2)相关关系：变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达点睛函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系，如试验田的施肥量x与水稻的产量y.当自变量x每取一确定值时，因变量y的取值带有一定的随机性，即还受其他环境因素的影响2.散点图(1)概念：将样本中n个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标系中，用来表示两个变量的一组数据的图形叫做散点图(2)作法：建立平面直角坐标系，用横坐标表示一个变量，用纵坐标表示另一个变量，将给出的数据所表示的点在坐标系内描出，即可得到散点图点睛对于散点图要注意以下几点若所有的样本点都落在某一函数曲线上，则变量间具有函数关系若所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则变量间就具有相关关系若散点图中的点的分布没有什么规律，则这两变量之间不具有相关关系，它们之间是相互独立的3线性相关关系能用直线bxa近似表示的相关关系叫线性相关关系4线性回归方程(1)概念：设有n对观察数据如下：xx1x2x3xnyy1y2y3yn当a，b使Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2取得最小值时，就称方程bxa为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线(2)用回归直线进行数据拟合的一般步骤作出散点图，判断散点是否在一条直线附近如果散点在一条直线附近，用公式求出a，b，并写出线性回归方程1下列各组变量是相关关系的是_(1)电压U与电流I；(2)圆面积S与半径R；(3)粮食产量与施肥量；(4)广告费支出与商品销售额解析：(1)(2)中两个变量间是函数关系，(3)(5)中两个变量之间有关系，但不能用函数表达，是相关关系答案：(3)(4)25名学生的化学和生物成绩如下表所示：学生A学生B学生C学生D学生E化学成绩(分)8075706560生物成绩(分)7065686462判断化学和生物成绩之间是否具有相关关系_(填“具有”“不具有”)答案：具有相关关系的概念典例在下列各个量与量的关系中：正方体的表面积与棱长之间的关系；某同学的数学成绩和物理成绩之间的关系；家庭的收入与支出之间的关系；某户家庭用电量与水费之间的关系其中是相关关系的为_解析正方体的表面积与棱长之间的关系是确定的函数关系；某户家庭用电量与水费之间无任何关系中，都是非确定的关系，但自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性答案判断两个变量是否具有相关关系，主要有两种方法：一是根据相关关系的定义进行判断，看这两个变量是否具有不确定性二是利用散点图，看散点图中的点是否都落在某一函数曲线附近 活学活用关于人体的脂肪含量(百分比)与年龄关系的研究中，得到如下一组数据：年龄2327394145495053脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.6(1)将上表中的数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现年龄与脂肪含量近似成什么关系吗？(3)若成线性相关关系，请你画一条直线近似地表示这种线性关系解：(1)以年龄作为x轴，脂肪含量为y轴，可得相应散点图，如图所示(2)从散点图可以发现，年龄与脂肪含量之间具有线性相关关系(3)画出的一条直线如上图线性回归方程的求法及应用典例假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y与x成线性相关关系试求：(1)线性回归方程bxa的系数a，b；(2)所求的回归直线必过点P(，)吗？(3)使用年限为10年时，试估计维修费用是多少？(4)若设备的使用年限x每增加一年，则所支出的维修费用y如何变化？解(1)4，5，90，iyi112.3，b1.23.ab51.2340.08.(2)线性回归方程是1.23x0.08，又4，5，把点P(4,5)代入线性回归方程知必过点P(，)(3)当x10时，1.23100.0812.38，所以估计使用10年时维修费用是12.38万元(4)由线性回归方程知，使用年限每增加一年维修费用就提高1.23万元(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具备相关关系或相关性不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的(2)用公式计算a，b的值时，要先算出b，然后才能算出a. 活学活用以下是江苏省某城镇收集到的新房屋的销售价格y和房屋的大小x的数据：房屋大小x(m2)11511080135105销售价格y(万元)24.821.618.429.222(1)画出数据的散点图；(2)求回归方程；(3)估算一下96 m2的房价解：(1)散点图如图所示(2)109，23.2，60 975，iyi12 952.b0.196 2，ab23.20.196 21091.814 2.回归直线方程为0.196 2x1.814 2.(3)当x96时，20.6.因此，96 m2的新房屋大约为20.6万元层级一学业水平达标1对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是_(填序号)都可以分析出两个变量的关系；都可以用一条直线近似地表示两者的关系；都可以用确定的表达式表示两者的关系；都可以作出散点图答案：2根据下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是_答案：3已知x与y之间的一组数据如下表：x1234y2357则x与y之间的线性回归方程bxa必过点_解析：首先可求2.5，4.25，又回归直线必过点(，)，故回归直线必过点(2.5,4.25)答案：(2.5,4.25)4已知某工厂在xx年每月产品的总成本y(万元)与月产量x(万件)之间有线性相关关系，回归方程为1.215x0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加_万元解析：由11.215x10.974，21.215(x14)0.974，得211.21544.86(万元)答案：4.865某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程ybxa，其中b20，ab；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本)解：(1)由于(x1x2x3x4x5x6)8.5，(y1y2y3y4y5y6)80.所以ab80208.5250，从而回归直线方程为y20x250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得Lx(20x250)4(20x250)20x2330x1 00020(x)2361.25.当且仅当x8.25时，L取得最大值故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润层级二应试能力达标1下列两个变量之间的关系，是函数关系的有_球的体积和它的半径人的血压和体重底面积为定值的长方体的体积和高城镇居民的消费水平和平均工资答案：2.如图，从5组数据对应的点中去掉点_后，剩下的4组数据的线性相关性就更好了解析：由散点图知：呈带状区域时有较强的线性相关关系，故去掉D点答案：D3某单位为了了解用电量y度与气温x之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温()1813101用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程bxa中b2，预测当气温为4 时，用电量的度数约为_解析：10，40，回归方程过点(，)，40210a，a60.y2x60.令x4，(2)(4)6068.答案：684对某台机器购置后的运营年限x(x1,2,3)与当年利润y的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为y10.471.3x，估计该台机器使用_年最合算解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y0，所以10.471.3x0，解得x8.05，所以该台机器使用8年最合算答案：85下表是广告费用与销售额之间的一组数据：广告费用(千元)1461014销售额(千元)1944405253销售额y(千元)与广告费用x(千元)之间有线性相关关系，回归方程为2.3xa(a为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为_千元解析：7，41.6，则a2.341.62.3725.5.当y6万元60千元时，602.3x25.5，解得x15(千元)答案：156工人月工资y(元)依据劳动生产率x(千元)变化的线性回归方程为5080x，当劳动生产率提高1 000元时，工资平均提高_元解析：线性回归方程bxa中b的意义是当x增加一个单位时，y的值平均变化b个单位，这是一个平均变化率，线性回归方程不是一种确定关系，只能用于预测变量的值，所以当x增加一个单位1千元时，工资平均提高80元答案：807如果在一次试验中，测得(x，y)的四组数值分别是A(1,3)，B(2,3.8)，C(3,5.2)，D(4,6)，那么y与x之间的线性回归方程是_解析：由题意，得2.5，4.5，iyi50.2，30，b1.04，a4.51.042.51.9，故线性回归方程为1.04x1.9.答案：1.04x1.98已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为bxa.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为ybxa，则以下结论正确的是_bb，aa；bb，aa；bb，aa；bb，aa.解析：，b，ab，b2b，a2a.答案：9某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份xxxxxxxxxx需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程bxa；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地xx年的粮食需求量解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据预处理如下：年份xx42024需求量257211101929由处理后的数据，容易算得0，3.2，b6.5.ab3.2.由上述计算结果，可知所求回归直线方程为257b(x2 010)a6.5(x2 010)3.2.即6.5(x2 010)260.2.(2)利用所求得的直线方程，可预测xx年的粮食需求量为6.5(xxxx)260.26.56260.2299.2(万吨)10(全国卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值(xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，i.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.解：(1)由散点图可以判断，ycd适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(2)令w，先建立y关于w的线性回归方程由于68，563686.8100.6，所以y关于w的线性回归方程为100.668w，因此y关于x的回归方程为100.668.(3)由(2)知，当x49时，年销售量y的预报值100.668576.6，年利润z的预报值576.60.24966.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值0.2(100.668)xx13.620.12.所以当6.8，即x46.24时，取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大