2019-2020年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法教学案新人教A版选修2-2.doc

2019-2020年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法教学案新人教A版选修2-2预习课本P8589，思考并完成下列问题(1)综合法的定义是什么？有什么特点？(2)综合法的推证过程是什么？(3)分析法的定义是什么？有什么特点？(4)分析法与综合法有什么区别和联系？新知初探1综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).顺推证法或由因导果法2.分析法定义框图表示特点从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法3综合法、分析法的区别综合法分析法推理方向顺推，由因导果倒溯，执果索因解题思路探路较难，易生枝节容易探路，利于思考表述形式形式简洁，条理清晰叙述繁琐，易出错思考的侧重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息点睛一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是执果索因的逆推证法()(2)分析法就是从结论推向已知()(3)所有证明的题目均可使用分析法证明()答案：(1)(2)(3)2若ab0，则下列不等式中不正确的是()Aa2abBabb2C. Da2b2答案：C3欲证成立，只需证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2答案：C4如果ab，则实数a，b应满足的条件是_答案：ab0综合法的应用典例在ABC中，三边a，b，c成等比数列求证：acos2 ccos2 b.证明a，b，c成等比数列，b2ac.左边(ac)(acos Cccos A)(ac)(ac)bbb右边，acos2ccos2 b.当且仅当ac时等号成立综合法的解题步骤活学活用1已知a，b，c，dR，求证：(acbd)2(a2b2)(c2d2)证明：左边a2c22abcdb2d2a2c2(a2d2b2c2)b2d2(a2b2)(c2d2)右边，(acbd)2(a2b2)(c2d2)2设数列an满足a10，1.(1)求an的通项公式；(2)设bn，Snb1b2bn，证明：Sn1.解：(1)1，是公差为1的等差数列又1，n，an1.(2)证明：由(1)得bn，Snb1b2bn111.Sn1.分析法的应用典例设a，b为实数，求证： (ab)证明当ab0时， 0，(ab)成立当ab0时，用分析法证明如下：要证 (ab)，只需证()22.即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立， (ab)成立综上所述，不等式得证分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语活学活用已知a，b，c都为正实数，求证： .证明：要证 ，只需证2，只需证3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ac，只需证2(a2b2c2)2ab2bc2ac，只需证(ab)2(bc)2(ca)20，而这是显然成立的，所以 成立分析法与综合法的综合应用典例已知a，b，c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxlogxlogxlogxalogxblogxc.证明要证明logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需要证明logxlogx(abc)，由已知0x1，只需证明abc，由公式0，0，0.又a，b，c是不全相等的正数， abc.即abc成立logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立分析综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程 活学活用已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c为三个内角对应的边长，求证：.证明：要证，即证3，即证1.即证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即证c2a2acb2.ABC三个内角A，B，C成等差数列B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.c2a2acb2成立，命题得证层级一学业水平达标1要证明(a0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A综合法B类比法C分析法 D归纳法解析：选C直接证明很难入手，由分析法的特点知用分析法最合理2命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2 ”，其过程应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D间接证法解析：选B结合分析法及综合法的定义可知B正确3在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件()Aa2b2c2 Ba2b2c2Ca2b2c2 Da2b2c2解析：选C由cos A0，得b2c2a2.4若a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbac解析：选C利用函数单调性设f(x)，则f(x)，0xe时，f(x)0，f(x)单调递增；xe时，f(x)0，f(x)单调递减又a，bac.5设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值 D无法确定正负解析：选A由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0.6命题“函数f(x)xxln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)xxln x取导得f(x)ln x，当x(0,1)时，f(x)ln x0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法解析：该证明过程符合综合法的特点答案：综合法7如果abab，则正数a，b应满足的条件是_解析：ab(ab)a()b()()(ab)()2()只要ab，就有abab.答案：ab8若不等式(1)na2对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_解析：当n为偶数时，a2，而22，所以a，当n为奇数时，a2，而22，所以a2.综上可得，2a.答案：9求证：2cos().证明：要证原等式，只需证：2cos()sin sin(2)sin ，因为左边2cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin cos()sin sin()cos sin .所以成立，所以原等式成立10已知数列an的首项a15，Sn12Snn5，(nN*)(1)证明数列an1是等比数列(2)求an.解：(1)证明：由条件得Sn2Sn1(n1)5(n2)又Sn12Snn5，得an12an1(n2)，所以2.又n1时，S22S115，且a15，所以a211，所以2，所以数列an1是以2为公比的等比数列(2)因为a116，所以an162n132n，所以an32n1.层级二应试能力达标1使不等式成立的条件是()AabBabCab且ab0 Dab且ab0解析：选D要使，须使0，即0.若ab，则ba0，ab0；若ab，则ba0，ab0.2对任意的锐角，下列不等式中正确的是()Asin()sin sin Bsin()cos cos Ccos()sin sin Dcos()cos cos 解析：选D因为，为锐角，所以0，所以cos cos()又cos 0，所以cos cos cos()3若两个正实数x，y满足1，且不等式xm23m有解，则实数m的取值范围是()A(1,4) B(，1)(4，)C(4,1) D(，0)(3，)解析：选Bx0，y0，1，x2224，等号在y4x，即x2，y8时成立，x的最小值为4，要使不等式m23mx有解，应有m23m4，m1或m4，故选B.4下列不等式不成立的是()Aa2b2c2abbccaB.(a0，b0)C.(a3)D.2解析：选D对A，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，a2b2c2abbcca；对B，()2ab2，()2ab，；对C，要证 (a3)成立，只需证明，两边平方得2a322a32，即，两边平方得a23aa23a2，即02.因为02显然成立，所以原不等式成立；对于D，()2(2)2124244(3)0，2，故D错误5已知函数f(x)2x，a，b为正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系是_解析：(a，b为正实数)，且f(x)2x是增函数，ff()f，即CBA.答案：CBA6如图所示，四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足_时，BDA1C(写上一个条件即可)解析：要证BDA1C，只需证BD平面AA1C.因为AA1BD，只要再添加条件ACBD，即可证明BD平面AA1C，从而有BDA1C.答案：ACBD(答案不唯一)7在锐角三角形ABC中，求证：sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.证明：在锐角三角形ABC中，AB，AB.0BA，又在内正弦函数ysin x是单调递增函数，sin Asincos B，即sin Acos B同理sin Bcos C，sin Ccos A由，得：sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.8已知nN，且n1，求证：logn(n1)logn1(n2)证明：要证明logn(n1)logn1(n2)，即证明logn(n1)logn1(n2)0.(*)logn(n1)logn1(n2)logn1(n2).又当n1时，logn1n0，且logn1(n2)0，logn1nlogn1(n2)，logn1nlogn1(n2)logn1nlogn1(n2)2logn(n2)log(n22n)log(n1)21，故1logn1nlogn1(n2)0，0.这说明(*)式成立，logn(n1)logn1(n2)