2019-2020年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法同步配套教学案新人教A版选修4.doc

2019-2020年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法同步配套教学案新人教A版选修4 对应学生用书P39数学归纳法(1)数学归纳法的概念：先证明当n取第一值n0(例如可取n01)时命题成立，然后假设当nk(kN，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳法(2)数学归纳法适用范围：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：证明当n取第一个值n0(如取n01或2等)时命题正确；假设当nk(kN，kn0)时结论正确，证明当nk1时命题也正确由此可以断定，对于任意不小于n0的正整数n，命题都正确 对应学生用书P39利用数学归纳法证明恒等式例1证明：当n2，nN时，.思路点拨注意到这是与正整数n有关的命题，可考虑用数学归纳法证明证明(1)当n2时，左边1，右边.当n2时，等式成立(2)假设nk(k2，kN)时等式成立，即：(1)当nk1时，.当nk1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意n2，nN等式成立利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设1在用数学归纳法证明，对任意的正偶数n，均有12成立时，(1)第一步检验的初始值n0是什么？(2)第二步归纳假设n2k时(kN)等式成立，需证明n为何值时，方具有递推性；(3)若第二步归纳假设nk(k为正偶数)时等式成立，需证明n为何值时，等式成立解：(1)n0为2.此时左边为1，右边为2.(2)假设n2k(kN)时，等式成立，就需证明n2k2(即下一个偶数)时，命题也成立(3)若假设nk(k为正偶数)时，等式成立，就需证明nk2(即k的下一个正偶数)时，命题也成立2求证：1(nN)证明：(1)当n1时，左边1，右边1，所以左边右边，等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，即1.则当nk1时，1.这就是说，当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对任何xN等式都成立用数学归纳法证明整除问题例2求证：x2ny2n(nN)能被xy整除思路点拨本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(xy)有困难，故可考虑用数学归纳法证明证明(1)当n1时，x2y2(xy)(xy)能被xy整除(2)假设nk(k1，kN)时，x2ky2k能被xy整除，那么当nk1时，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k与x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1时，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这就往往要涉及到“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证3用数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN)能被9整除证明：当n1时，47127能被9整除命题成立假设nk时命题成立，即(3k1)7k1能被9整除，当nk1时，(3k3)17k113k1377k17(3k1)7k1217k(3k1)7k118k7k67k217k(3k1)7k118k7k277k，由归纳假设(3k1)7k1能被9整除，又因为 18k7k277k也能被9整除，所以3(k1)17k11能被9整除，即nk1时命题成立则可知对所有正整数n命题成立4用数学归纳法证明：1(3x)n(nN)能被x2整除证明：(1)n1时，1(3x)(x2)，能被x2整除，命题成立(2)假设nk(k1)时，1(3x)n能被x2整除，则可设1(3x)k(x2)f(x)(f(x)为k1次多项式)，当nk1时，1(3x)k11(3x)(3x)k1(3x)1(x2)f(x)1(3x)(x2)(3x)f(x)(x2)(x2)(3x)f(x)(x2)1(3x)f(x)，能被x2整除，即当nk1时命题成立由(1)(2)可知，对nN，1(3x)n能被x2整除.用数学归纳法证明几何问题例3平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成(n2n2)个区域思路点拨用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k条直线将平面分成的部分数与k1条直线将平面分成的部分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到nk1时的证明证明(1)当n1时，一条直线把平面分成两个区域，又(1212)2，n1时命题成立(2)假设nk时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了(k2k2)个区域那么当nk1时，k1条直线中的k条直线把平面分成了(k2k2)个区域，第k1条直线被这k条直线分成k1段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了k1个区域，所以k1条直线把平面分成了(k2k2)k1(k1)2(k1)2个区域nk1时命题也成立由(1)(2)知，对一切的nN，此命题均成立用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从nk到nk1时，新增加的量是多少一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k1个中分出1个来，剩下的k个利用假设5求证：凸n边形对角线条数f(n)(nN，n3)证明：(1)当n3时，即f(3)0时，三角形没有对角线，命题成立(2)假设nk(kN，k3)时命题成立，即凸k边形对角线条数f(k).将凸k边形A1A2Ak在其外面增加一个新顶点Ak1，得到凸k1边形A1A2AkAk1，Ak1依次与A2，A3，Ak1相连得到对角线k2条，原凸k边形的边A1Ak变成了凸k1边形的一条对角线，则凸k1边形的对角线条数为：f(k)k21k1f(k1)，即当nk1时，结论正确根据(1)(2)可知，命题对任何nN，n3都成立6求证：平面内有n(n2)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n2条线段(或射线)证明：(1)当n2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立(2)假设当nk时，命题成立，即k条满足条件的直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)那么nk1时，取出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又被这k条直线分成k1部分，所以这k1条直线彼此互相分割成k2kk1(k1)2条线段(或射线)，即nk1时，命题成立由(1)(2)知，命题成立 对应学生用书P411数学归纳法证明中，在验证了n1时命题正确，假定nk时命题正确，此时k的取值范围是()AkNBk1，kNCk1，kN Dk2，kN解析：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.答案：C2某个命题：(1)当n1时，命题成立，(2)假设nk(k1，kN)时成立，可以推出nk2时也成立，则命题对_成立()A正整数 B正奇数C正偶数 D都不是解析：由题意知，k1时，k23；k3时，k25，依此类推知，命题对所有正奇数成立答案：B3设f(n)(nN)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析：因为f(n)，所以f(n1)，所以f(n1)f(n).答案：D4如果123234345n(n1)(n2)n(n1)(na)(nb)对一切正整数n都成立，a，b的值可以等于()Aa1，b3 Ba1，b1Ca1，b2 Da2，b3解析：令n1,2得到关于a，b的方程组，解得即可答案：D5观察式子11,14(12)，149123，猜想第n个式子应为_答案：14916(1)n1n2(1)n16用数学归纳法证明：“1427310n(3n1)n(n1)2.nN”时，若n1，则左端应为_解析：n1时，左端应为144.答案：47记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形图形故f(k1)f(k).答案：8设aN，nN，求证：an2(a1)2n1能被a2a1整除证明：(1)当n1时，a3(a1)3a(a1)a2a(a1)(a1)2(2a1)(a2a1)结论成立(2)假设当nk时，结论成立，即ak2(a1)2k1能被a2a1整除，那么nk1时，有a(k1)2(a1)2(k1)1aak2(a1)2(a1)2k1aak2(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak2(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.因为ak2(a1)2k1，a2a1均能被a2a1整除，又aN，故a(k1)2(a1)2(k1)1能被a2a1整除，即当nk1时，结论也成立由(1)(2)可知，原结论成立9有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)n2n2个部分(nN)证明：(1)当n1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)1122，所以n1时命题成立(2)假设nk(k1)时命题成立即k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分则nk1时，在k1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.当nk1时，命题成立综合(1)(2)可知，对一切nN，命题成立10用数学归纳法证明nN时，(2cos x1)(2cos 2x1)(2cos 2n1x1).证明：(1)当n1时，左边2cos x1，右边2cos x1，即左边右边，命题成立(2)假设当nk时，命题成立，即(2cos x1)(2cos 2x1)(2cos 2k1x1).则当nk1时，左边(2cos x1)(2cos 2x1)(2cos 2k1x1)(2cos 2kx1)(2cos 2kx1).nk1时命题成立由(1)(2)可知，对nN时命题成立