2019-2020年高中数学二次函数与一元二次方程教案2.doc

2019-2020年高中数学二次函数与一元二次方程教案2三维目标一、知识与技能1.会用函数图象的交点解释方程的根的意义.2.继续了解函数的零点与对应方程根的联系.3.理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质.二、过程与方法1.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法.2.通过探究、思考，培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能力.三、情感态度与价值观通过现代信息技术的合理应用，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识.教学重点“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.教学难点“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.教具准备多媒体课件、投影仪.教学过程一、创设情景，引入新课师：观察二次函数f（x）=x22x3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x22x3在区间2，1上有零点.计算f（2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?在区间2，4上是否也具有这种特点呢?引导学生探究，可以发现，在区间2，1的端点上，f（2）0，f（1）0，即f（2）f（1）0，函数f（x）=x22x3在区间（2，1）内有零点x=1，它是方程x22x3=0的一个根.同样，在区间2，4的端点上，f（2）0，f（4）0，即f（2）f（4）0，函数f（x）=x22x3在（2，4）内有零点x=3，它是方程x22x3=0的另一个根.我们能从二次函数的图象看到零点的性质：1.二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.例如，函数y=x2x6的图象在零点2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点2时，函数值由正变负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正.2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.师：对任意函数，结论也成立吗?同学们可以任意画几个函数图象，观察图象，看看是否得出同样的结论.二、讲解新课1.零点的性质如果函数y=f（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的零点.一般地，对于不能用公式法求根的方程f（x）=0来说，我们可以将它与函数y=f（x）联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.2.应用举例【例1】 教科书P102例1.本例是考查函数零点的个数.通过它要让学生认识到函数的图象及其基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用.（1）函数f（x）=lnx+2x6的图象可以让学生利用计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.13，发现函数的图象与x轴有一个交点，从而对函数有一个零点形成直观的认识.（2）教科书上的表31，可以让学生用计算器或计算机得出，使学生通过动手实践获得对表31的认同感.通过观察表31，结合图象3.13，不难得出函数的一个零点在区间（2，3）内.（3）要说明函数仅有一个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+）上是增函数，也可以由g（x）=lnx、h（x）=2x6在（0，+）上是增函数，说明函数f（x）=g（x）+h（x）在（0，+）上是增函数.【例2】 已知函数f（x）=ax2+bx+1具有以下性质：对任意实数x1x2，且f（x1）=f（x2）时，满足x1+x2=2；对任意x1、x2（1，+），总有f（）.则方程ax2+bx+1=0根的情况是A.无实数根B.有两个不等正根C.有两个异号实根D.有两个相等正根方法探究：（1）本题由条件，知函数f（x）的对称轴为x=1；由条件，知函数f（x）是凸函数，即a0；再由函数f（x）的表达式，知f（x）的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数f（x）的草图，如下图，发现函数f（x）与x轴交点的位置，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.（2）由条件，知函数f（x）的图象开口向下，即a0.又由x1x2=0，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.方法技巧：解析（2）的求解过程明显比解析（1）简捷，但却不如解析（1）直观，用数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析（1）中的三个函数语言之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语言，那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.【例3】 研究方程|x22x3|=a（a0）的不同实根的个数.方法探究：纯粹从解方程角度来考虑，必须研究两个方程，讨论相当麻烦.从函数图象角度分析，只需研究函数y=|x22x3|与y=a的图象的交点的个数.解：设y=|x22x3|和y=a，利用Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数.如下图，当a=0或a4时，有两个实根；当a=4时，有三个实根；当0a4时，有四个实根.方法技巧：有关实根个数的题目，通常都采用数形结合思想.做这类题目，必须遵循两个步骤：一是构造两个熟悉的函数，二是画出图象，关键点画图要准确.【例4】 设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0），方程f（x）x=0的两个根x1，x2满足0x1x2.（1）当x（0，x1）时，求证：xf（x）x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证：x0.方法探究：由于已知二次方程f（x）x=0的两个根，因此新出现的二次函数f（x）x应有双根式、一般式两种表现形式.故本题一定是在此进行问题设置，解题的关键就是恰当地把握好两种形式的转化.证明：（1）x1，x2是方程f（x）x=0的两根，且f（x）=ax2+bx+c（a0），f（x）x=a（xx1）（xx2）=a（x1x）（x2x）.0x1x2，且x1x2，a0，a（x1x）（x2x）0，即f（x）x0，a（x1x）（x2x）a（x1x）=x1x，即f（x）xx1x.故0f（x）xx1x，即xf（x）x1.（2）f（x）x=ax2+（b1）x+c，且f（x）x=0的两根为x1，x2，二次函数f（x）x=0的对称轴为x=.=+.又由已知，得x0=，=x0+.又x2，0.故=x0+x0，即x0.方法技巧：函数与方程思想的恰当转化，是解决本题的关键，这种思想方法的转化往往是多次的.三、课堂练习教科书P103练习题1.（1）（2），2.（1）（2）.解答：1.（1）令f（x）=x2+3x+5，作出函数f（x）的图象，它与x轴有两个交点，所以方程x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.（2）2x（x2）=3可化为2x24x+3=0，令f（x）=2x24x+3，作出函数f（x）的图象，它与x轴没有交点，所以方程2x（x2）=3无实根.2.（1）作出函数图象，因为f（1）=10，f（1.5）=2.8750，所以f（x）=x33x+5在区间（1，1.5）上有一个零点.又因为f（x）是（，+）上的减函数，所以f（x）=x33x+5在区间（1，1.5）上有且只有一个零点.（2）作出函数图象，因为f（3）0，f（4）0，所以f（x）=2xln（x2）3在区间（3，4）上有一个零点.又因为f（x）=2xln（x2）3在（2，+）上是增函数，所以f（x）在（2，+）上有且仅有一个（3，4）上的零点.四、课堂小结1.本节学习的数学知识：零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积小于0；零点的确定.2.本节学习的数学方法：归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想.五、布置作业补充题：1.定义在区间c，c上的奇函数f（x）的图象如下图所示，令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是A.若a0，则函数g（x）的图象关于原点对称B.若a=1，2b0，则函数g（x）有大于2的零点C.若a0，b=2，则函数g（x）有两个零点D.若a1，b2，则函数g（x）有三个零点2.方程x22mx+m21=0的两根都在（2，4）内，则实数m的取值范围为_.3.已知二次函数f（x）=x2+2（p2）x+3p，若在区间0，1内至少存在一个实数c，使得f（c）0，则实数p的取值范围是_.板书设计3.1.1方程的根与函数的零点（2）二次函数零点的性质零点的性质例1例2例3例4课堂练习课堂小结