2019-2020年高中数学二次函数与一元二次方程教案2.doc

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2019-2020年高中数学二次函数与一元二次方程教案2三维目标一、知识与技能1.会用函数图象的交点解释方程的根的意义.2.继续了解函数的零点与对应方程根的联系.3.理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质.二、过程与方法1.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法.2.通过探究、思考,培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能力.三、情感态度与价值观通过现代信息技术的合理应用,转变学生对数学学习的态度,加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识.教学重点“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.教学难点“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.教具准备多媒体课件、投影仪.教学过程一、创设情景,引入新课师:观察二次函数f(x)=x22x3的图象(如下图),我们发现函数f(x)=x22x3在区间2,1上有零点.计算f(2)与f(1)的乘积,你能发现这个乘积有什么特点?在区间2,4上是否也具有这种特点呢?引导学生探究,可以发现,在区间2,1的端点上,f(2)0,f(1)0,即f(2)f(1)0,函数f(x)=x22x3在区间(2,1)内有零点x=1,它是方程x22x3=0的一个根.同样,在区间2,4的端点上,f(2)0,f(4)0,即f(2)f(4)0,函数f(x)=x22x3在(2,4)内有零点x=3,它是方程x22x3=0的另一个根.我们能从二次函数的图象看到零点的性质:1.二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.例如,函数y=x2x6的图象在零点2的左边时,函数值取正号,当它通过第一个零点2时,函数值由正变负,再通过第二个零点3时,函数值又由负变正.2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.师:对任意函数,结论也成立吗?同学们可以任意画几个函数图象,观察图象,看看是否得出同样的结论.二、讲解新课1.零点的性质如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.求方程f(x)=0的实数根,就是确定函数y=f(x)的零点.一般地,对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说,我们可以将它与函数y=f(x)联系起来,利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根.2.应用举例【例1】 教科书P102例1.本例是考查函数零点的个数.通过它要让学生认识到函数的图象及其基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用.(1)函数f(x)=lnx+2x6的图象可以让学生利用计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.13,发现函数的图象与x轴有一个交点,从而对函数有一个零点形成直观的认识.(2)教科书上的表31,可以让学生用计算器或计算机得出,使学生通过动手实践获得对表31的认同感.通过观察表31,结合图象3.13,不难得出函数的一个零点在区间(2,3)内.(3)要说明函数仅有一个零点,除上述理由外,还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增(减)函数的定义证明函数在(0,+)上是增函数,也可以由g(x)=lnx、h(x)=2x6在(0,+)上是增函数,说明函数f(x)=g(x)+h(x)在(0,+)上是增函数.【例2】 已知函数f(x)=ax2+bx+1具有以下性质:对任意实数x1x2,且f(x1)=f(x2)时,满足x1+x2=2;对任意x1、x2(1,+),总有f().则方程ax2+bx+1=0根的情况是A.无实数根B.有两个不等正根C.有两个异号实根D.有两个相等正根方法探究:(1)本题由条件,知函数f(x)的对称轴为x=1;由条件,知函数f(x)是凸函数,即a0;再由函数f(x)的表达式,知f(x)的图象过点(0,1).根据这三点,可画出函数f(x)的草图,如下图,发现函数f(x)与x轴交点的位置,可知f(x)=0有两个异号实根,故应选C.(2)由条件,知函数f(x)的图象开口向下,即a0.又由x1x2=0,可知f(x)=0有两个异号实根,故应选C.方法技巧:解析(2)的求解过程明显比解析(1)简捷,但却不如解析(1)直观,用数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰,便于理解.但不难发现,如果解析(1)中的三个函数语言之中有1个没有转化(或错误地转化)为图形语言,那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题,要注意由数到形,由形到数转化过程的等价性.【例3】 研究方程|x22x3|=a(a0)的不同实根的个数.方法探究:纯粹从解方程角度来考虑,必须研究两个方程,讨论相当麻烦.从函数图象角度分析,只需研究函数y=|x22x3|与y=a的图象的交点的个数.解:设y=|x22x3|和y=a,利用Excel、图形计算器或其他画图软件,分别作出这两个函数的图象,它们的交点的个数,即为所给方程实根的个数.如下图,当a=0或a4时,有两个实根;当a=4时,有三个实根;当0a4时,有四个实根.方法技巧:有关实根个数的题目,通常都采用数形结合思想.做这类题目,必须遵循两个步骤:一是构造两个熟悉的函数,二是画出图象,关键点画图要准确.【例4】 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)x=0的两个根x1,x2满足0x1x2.(1)当x(0,x1)时,求证:xf(x)x1;(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,求证:x0.方法探究:由于已知二次方程f(x)x=0的两个根,因此新出现的二次函数f(x)x应有双根式、一般式两种表现形式.故本题一定是在此进行问题设置,解题的关键就是恰当地把握好两种形式的转化.证明:(1)x1,x2是方程f(x)x=0的两根,且f(x)=ax2+bx+c(a0),f(x)x=a(xx1)(xx2)=a(x1x)(x2x).0x1x2,且x1x2,a0,a(x1x)(x2x)0,即f(x)x0,a(x1x)(x2x)a(x1x)=x1x,即f(x)xx1x.故0f(x)xx1x,即xf(x)x1.(2)f(x)x=ax2+(b1)x+c,且f(x)x=0的两根为x1,x2,二次函数f(x)x=0的对称轴为x=.=+.又由已知,得x0=,=x0+.又x2,0.故=x0+x0,即x0.方法技巧:函数与方程思想的恰当转化,是解决本题的关键,这种思想方法的转化往往是多次的.三、课堂练习教科书P103练习题1.(1)(2),2.(1)(2).解答:1.(1)令f(x)=x2+3x+5,作出函数f(x)的图象,它与x轴有两个交点,所以方程x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.(2)2x(x2)=3可化为2x24x+3=0,令f(x)=2x24x+3,作出函数f(x)的图象,它与x轴没有交点,所以方程2x(x2)=3无实根.2.(1)作出函数图象,因为f(1)=10,f(1.5)=2.8750,所以f(x)=x33x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(,+)上的减函数,所以f(x)=x33x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象,因为f(3)0,f(4)0,所以f(x)=2xln(x2)3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2xln(x2)3在(2,+)上是增函数,所以f(x)在(2,+)上有且仅有一个(3,4)上的零点.四、课堂小结1.本节学习的数学知识:零点的性质:在函数的零点两侧函数值乘积小于0;零点的确定.2.本节学习的数学方法:归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想.五、布置作业补充题:1.定义在区间c,c上的奇函数f(x)的图象如下图所示,令g(x)=af(x)+b,则下列关于函数g(x)的叙述正确的是A.若a0,则函数g(x)的图象关于原点对称B.若a=1,2b0,则函数g(x)有大于2的零点C.若a0,b=2,则函数g(x)有两个零点D.若a1,b2,则函数g(x)有三个零点2.方程x22mx+m21=0的两根都在(2,4)内,则实数m的取值范围为_.3.已知二次函数f(x)=x2+2(p2)x+3p,若在区间0,1内至少存在一个实数c,使得f(c)0,则实数p的取值范围是_.板书设计3.1.1方程的根与函数的零点(2)二次函数零点的性质零点的性质例1例2例3例4课堂练习课堂小结
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