2019-2020年高中数学《函数的基本性质—最大（小）值》教案3 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中数学函数的基本性质最大（小）值教案3 新人教A版必修1（一）教学目标1知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.2过程与方法借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.3情感、态度与价值观在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.（二）教学重点与难点重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.（三）过程与方法合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.（四）教学过程问题1函数f (x) = x2. 在( ，0)上是减函数，在0，+）上是增函数. 当x0时，f (x)f (0)， x0时， f (x)f (0). 从而xR. 都有f (x) f (0).因此x = 0时，f (0)是函数值中的最小值.问题2函数f (x) = x2同理可知xR. 都有f (x)f (0). 即x = 0时，f (0)是函数值中的最大值.：1、函数最大值概念：一般地，设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足：（1）对于任意x都有f (x) M.（2）存在x0I，使得f (x0) = M.那么，称M是函数y = f (x) 的最大值.函数最小值概念：一般地：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意xI，都有f (x)M.（2）存在x0I，使得f (x0) = M.那么，称M是函数y = f (x)的最小值.、例题分析例1设f (x)是定义在区间6，11上的函数. 如果f (x) 在区间6，2上递减，在区间2，11上递增，画出f (x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现f (2)是函数f (x)的一个 . （最小值）.例2已知函数y =(x2，6)，求函数的最大值和最小值.分析：由函数y =(x2，6)的图象可知，函数y =在区间2，6上递减. 所以，函数y =在区间2，6的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x1，x2是区间2，6上的任意两个实数，且x1x2，则f (x1) f (x2) =. 由2x1x26，得x2 x10，(x11) (x21)0，于是 f (x1) f (x2)0，即 f (x1)f (x2).所以，函数y =是区间2，6上是减函数. 因此，函数y =在区间2，6的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4.例3已知函数f (x ) =，x1，+).（）当a =时，求函数f (x)的最小值；（）若对任意x1，+)，f (x)0恒成立，试求实数a的取值范围.分析：对于（1），将f (x)变形为f (x) = x +2 + = x +2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化(x1，+)恒成立，等价于x2 + 2x + a0 恒成立，进而解出a的范围.解：（1）当a =时，f (x) = x +2因为f (x)在区间1，+）上为增函数，所以f (x)在区间1，+）上的最小值为f (1) =.（2）解法一：在区间1，+）上，f (x) =恒成立x2 + 2x + a0恒成立.设y = x2 +2x+a，(x + 1) 2 + a 1在1，+)上递增.当x =1时，ymin =3 + a，于是当且仅且ymin =3 + a0时，函数f (x)0恒成立，a3. 解法二：f (x) = x +2 x1，+).当a0时，函数f (x)的值恒为正；当a0时，函数f (x)递增. 故当x =1时，f (x)min = 3+a.于是当且仅当f (x)min =3 +a0时，函数f (x)0恒成立. 故a3.思考题：已知函数f (x) = x2 2x 3，若xt，t +2时，求函数f (x)的最值.解：对称轴x = 1，（1）当1t +2即t1时，f (x)max = f (t) = t 2 2t 3，f (x)min = f (t +2) = t 2 +2t 3.（2）当1t +2，即1t0时，f (x)max = f (t) = t 2 2t3，f (x)min= f (1) = 4.（3）当t1，即0t1，f (x)max = f (t +2) = t 2 + 2t 3，f (x)min = f (1) = 4.（4）当1t，即t1时，f (x)max = f (t +2) = t 2 +2t 3，f (x)min = f (t) = t 2 2t 3.设函数最大值记为g(t)，最小值记为(t)时，则有g (t) =2 已知函数f (x)对任意x，yR，总有f (x) + f ( y) = f (x + y)，且当x0时，f (x)0，f (1) =.（1）求证f (x)是R上的减函数；（2）求f (x)在3，3上的最大值和最小值.分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.证明：（1）令x = y =0，f (0) = 0，令x = y可得： f (x) = f (x)，在R上任取x1x2，则f (x1) f (x2) = f (x1) + f ( x2) = f (x1x2).x1x2，x1x20. 又x0时，f (x)0，f (x1x2)0， 即f (x1) f (x2)0.由定义可知f (x)在R上为单调递减函数.（2）f (x)在R上是减函数，f (x)在3，3上也是减函数， f (3)最大，f (3)最小.f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3() = 2. f (3) = f (3) =2.即f (3)在3，3上最大值为2，最小值为2.3课堂小结：（1）最值的概念（2）应用图象和单调性求最值的一般步骤.作业：习案作业十 P166-P167。