2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单性质学业分层测评(含解析)北师大版选修1-1.doc

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2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单性质学业分层测评(含解析)北师大版选修1-1一、选择题1若椭圆1的离心率e,则m的值是()A3B3或C.D或【解析】若焦点在x轴上,则a,由得c,b2a2c23,mb23.若焦点在y轴上,则b25,a2m.,m.【答案】B2椭圆1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A8,2 B5,4C5,1D9,1【解析】由题意知a5,b3,c4,ac9,ac1,故点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别为9,1.【答案】D3(xx梅州高二检测)焦点在x轴上,长、短轴长之和为20,焦距为4,则椭圆的方程为()A.1B1C.1D1【解析】c2,a2(2)2b2,又ab10,可解得a6,b4.故椭圆方程为1.【答案】A4设F1,F2是椭圆E:1(ab0)的左、右焦点,P为直线x上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为()A.BC.D【解析】由题意可得|PF2|F1F2|,22c.3a4c.e.【答案】C5已知P(m,n)是椭圆x21上的一个动点,则m2n2的取值范围是()A(0,1 B1,2C(0,2D2,)【解析】因为P(m,n)是椭圆x21上的一个动点,所以m21,即n222m2,所以m2n22m2,又1m1,所以12m22,所以1m2n22,故选B.【答案】B二、填空题6椭圆的短轴长大于其焦距,则椭圆的离心率的取值范围是_. 【解析】由题意2b2c,即bc,即c,a2c2c2,则a22c2.,0eb0)的左,右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4,ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cos AF2B,求椭圆E的离心率【解】(1)由|AF1|3|F1B|,|AB|4,得|AF1|3,|F1B|1.因为ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a16,|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k,则k0且|AF1|3k,|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k,|BF2|2ak.在ABF2中,由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cos AF2B,即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak),化简可得(ak)(a3k)0.而ak0,故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|,|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2,可得F1AF2A,故AF1F2为等腰直角三角形从而ca,所以椭圆E的离心率e.1已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1,F2,点M在该椭圆上,且0,则点M到y轴的距离为()A.BC.D【解析】由题意,得F1(,0),F2(,0)设M(x,y),则(x,y)(x,y)0,整理得x2y23.又因为点M在椭圆y21上,即y21.将代入,得x22,解得x.故点M到y轴的距离为.【答案】B2已知F1、F2是椭圆的两个焦点满足0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1)BC.D【解析】0,M点轨迹方程为x2y2c2,其中F1F2为直径,由题意知椭圆上的点在圆x2y2c2外部,设点P为椭圆上任意一点,则|OP|c恒成立,由椭圆性质知|OP|b,其中b为椭圆短半轴长,bc,c22c2,e.又0e1,0e.【答案】C3椭圆E:1内有一点P(2,1),则经过点P并且以P为中点的弦所在直线方程为_【解析】设所求直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则1,1.相减得0.又x1x24,y1y22,kAB.因此,所求直线方程:y1(x2),即x2y40.【答案】x2y404(xx全国卷)设F1,F2分别是椭圆C:1(ab0)的左、右焦点,M是C上一点,且MF2与x轴垂直直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|5|F1N|,求a,b.【解】(1)根据c及题设,知M,2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac,解得,2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意知,原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故4,即b24a.由|MN|5|F1N|,得|DF1|2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y10,则即代入C的方程,得1.将及c代入,得1,解得a7,b24a28,故a7,b2.
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