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2019-2020 年高中数学 圆锥曲线章节复习知识精讲 文 人教版第二册 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 圆锥曲线章节复习 二. 重点、难点： 1. 重点： 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质 2. 难点： 直线和圆锥曲线的位置关系、最值问题、几何性质的应用 三. 知识结构： 【典型例题】 例 1 已知，试讨论当的值变化时，方程表示曲线的形状。 解： （1）当时，方程为，即，表示两条平行于轴的直线。 （2）当时， ，方程可化为 1cossin1 22yx ，表示焦点在轴上的椭圆。 （3）当时，方程为，表示圆心在原点，半径为的圆。 （4）当时， ，方程表示焦点在轴上的椭圆。 （5）当时，方程化为，表示两条平行于轴的直线。 （6）当时， ， ，方程表示焦点在轴上的双曲线。 例 2 已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点（4， ） 。 （1）求双曲线方程； （2）若点 M（3， ）在此双曲线上，求； （3）求的面积。 解： （1）由题意知，双曲线的方程是标准方程 双曲线的一条渐近线方程为 设双曲线方程为 把点（4， ）代入双曲线方程得， 所求双曲线方程为 （2）由（1）知双曲线方程为 双曲线的焦点为、 M 点在双曲线上 ， 2221 )3(),32(),3( mmF （3） 为直角三角形 14)(221 3124)(32(22mMF 6121 FS 例 3 已知抛物线的焦点为 A，以 B（）为圆心，长为半径，在轴上方的半圆交抛物线于 不同的两点 M、N，P 是 MN 的中点。 （1）求的值； （2）是否存在这样的值，使、 、成等差数列？ 解：如下图，A（） 圆的方程为 与联立得 08)4(22axax 2 解得 设 则， 8221 aaxANM （2）设 P（） ，则， aaxx 828211 ),4(2a 若、成等差数列，则 168()2 解得，这与矛盾 故不存在，使成等差数列 例 4 已知双曲线与点 P（1，2） ，过 P 点作直线与双曲线交于 A、B 两点，若 P 为 AB 的中 点。 （1）求直线 AB 的方程； （2）若 Q（1，1） ，证明：不存在以 Q 为中点的弦。 方法一：（1）解：设过 P（1，2）点的直线为，代入双曲线方程 得 0)64()()(2 kxkxk 由线段 AB 中点为 P（1，2） 解得，又时，使 从而直线 AB 方程为 （2）证明：按同样方法求得，而使，所以直线 CD 不存在 方法二：设 A（） 、B（） ， ， 得： 0)(21)( 212121 yyxx 写出直线方程，即，检验与双曲线有交点 例 5 已知双曲线（， ）的左、右两个焦点分别为 F1、F 2，P 是它左支上一点，P 到左准线 的距离为，双曲线的一条渐近线为，问是否存在点 P，使、 、成等比数列？若存在，求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 解：假设存在点 P（）满足题中条件 双曲线的一条渐近线为 ， ， 即 由，得 双曲线的两准线方程为 axcxPF0 201axcxPF0202 点 P 在双曲线的左支上 021),(eea代入得 ，代入，得 存在点 P 使成等比数列，点 P 的坐标是（） 例 6 如图，直线和相交于点 M， ，点 N，以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到的距离 与到点 N 的距离相等。若为锐角三角形， ，=3，且，建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程。 解：方法一：以为轴，MN 的中点 O 为原点建立如图的直角坐标系。由题意可知，曲线 段 C 所在的抛物线在直角坐标系中的位置是标准的，并且点 N 是该抛物线的焦点，是准线。 所以可令抛物线的方程为，过点 A 作， ，垂足分别为 Q 和 E，由于是锐角三角形，则点 E 必 在线段 MN 上。 所以， 22MQ 12ENE 4NAMp 抛物线方程为 由上述可知， ，点 B 到准线的距离为 6，则点 B 的横坐标为 4，又曲线段在轴上方，故 曲线段 C 的方程为 方法二：以为轴，为轴建立如下图的直角坐标系，其中 M 点为原点，这时焦点 N 在轴 上，顶点应是线段 MN 的中点。令曲线段 C 所在的抛物线方程为： 设 ),2(),2(11ypypA 则： )3(6)2(972121ypy 由（1）（2）得 代入（1）得 代入（3）得 曲线段 C 的方程为 )242)(82yxy 例 7 设分别为椭圆 C：（）的左、右两个焦点。 （1）若椭圆 C 上的点 A（1， ）到两点的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐 标； （2）设点 K 是（1）中所得椭圆上的动点。求线段 F1K 的中点的轨迹方程； （3）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上 任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点 P 位置无关的定值。 试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。 解：（1）椭圆 C 的焦点在轴上 椭圆上的点 A 到两点的距离和是 4，得，即 又 点 A（）在椭圆上 ，得 椭圆 C 的方程为，焦点为、 （2）设椭圆 C 上的动点为 K（） ，线段 F1K 的中点 Q（）满足： 因此 即为所求的轨迹方程 （3）类似的性质为：若 M、N 是双曲线上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲线上任 意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点 P 位置无关的定值。 证明如下：设点 M 的坐标为（） ，则点 N 的坐标为（） ，其中。又设点 P 的坐标为（） ，由， =，得 2mxnyxnykPN 将， ，代入得，命题得证。 例 8 直线：与双曲线 C：的右支交于不同的两点 A、B。 （1）求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在， 求出的值；若不存在，说明理由。 解： （1）将直线的方程代入双曲线 C 的方程后，整理，得，依题意，直线与双曲线 C 的 右支交于不同两点，故 020)2(8)2(0kkk 解得的取值范围为 （2）设 A、B 两点的坐标分别为，则由式得 2212kx ，假设存在实数， 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F（） ，则由 FAFB 得0)(2121ycx 即 0)(21kx 整理得 1)ccxk 把式及代入式化简得 解得或（舍去） 可得使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点。 【模拟试题】 （答题时间：60 分钟） 一. 选择题 1. 椭圆的一条准线为，则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若椭圆和双曲线有相同的左、右焦点、 ，P 是两条曲线的一个交点，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的焦点为、 ，弦 AB 过且两端点在双曲线的一支上，若，则（ ） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 不为定值 5. 设 P 是椭圆上一点， 、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 若点 P 在抛物线上，点 Q 在圆上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线上到顶点与焦点距离相等的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 将离心率为的椭圆，绕着它的左焦点按顺时针方向旋转后，所得新椭圆的一条准线方 程为，则新椭圆的另一条准线方程为（ ） A. B. C. D. 二. 填空题 1. 已知、是双曲线的两个焦点，PQ 是经过且垂直于轴的双曲线的弦，如果，则双曲线 的离心率是 。 2. 已知点是椭圆上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦 AP 的长度最大时，则点 P 的坐标 是 。 3. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，这个正三角形的边长 是 。 4. 抛物线的弦 AB 垂直于轴，若，则焦点到 AB 的距离为 。 三. 解答题 1. 已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。 2. 设 AB 是抛物线上的动弦，且（为常数） ，求弦 AB 中点 M 到轴的最近距离，并研究的 情况。 3. 求抛物线上的点到直线的距离的最小值，并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标。 【试题答案】 一. 1. A 2. B 3. A 4. C 5. A 6. D 7. C 8. D 二. 1. 2. 3. 4. 三. 1. 解： 椭圆的中心在原点，焦点在轴上 椭圆的方程为标准方程 椭圆的方程可写成 把直线代入椭圆的方程并整理得 弦的中点的横坐标为 ， 所求椭圆的方程为 2. （1）解法一：设直线 AB 的方程为，A、B 两点的坐标分别为， 由 得 abkxkAB41| 2212 ，化简得 点 M 到轴的距离为 )(1242a 当且仅当，即时“=”成立 解法二：设 A、M、B 点的纵坐标分别为、 、 ，A、M、B 三点在抛物线准线上的射影分别 为、 、 由抛物线的定义，知， ， 又 M 是线段 AB 的中点 )12(4)|(21)|(21)(213 aFyy ，等号在 AB 过焦点 F 时成立 当定长为的弦过焦点 F 时，M 点与轴的距离最近，最近距离为 （2）若，此时只能用解法一，得 1)(1422kay 令，得 又在上是减函数，在上是增函数 又，故在上是增函数，故当即时， 3. 解法一：设是抛物线上的点，则 |4634|515|634| 020 yyxd 当，时，有最小值 2 此时抛物线上点的坐标为 解法二：由无实根，知直线与抛物线没有公共点 设与直线平行的直线为 代入得 设此直线与抛物线相切，即只有一个公共点 ，解得，代入，得， ，即点到直线的距离最近，最近距离 235|)46(12|d
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