2019-2020年高二数学上 第7章《数列》学案(1) 沪教版.doc

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2019-2020年高二数学上 第7章数列学案(1) 沪教版高考在考什么【考题回放】1设数列an的首项a17,且满足an1an2(nN),则a1a2a17 153 .2设Sn是等差数列an的前n项和,若,则( A )(A) (B) (C) (D)3已知数列、都是公差为1的等差数列,其首项分别为、,且,设(),则数列的前10项和等于(C)(A)55 (B)70(C)85(D)1004在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于( C )(A) (B) (C) (D) 5. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”设an是公比为q的无穷等比数列,下列an的四组量中:S1与S2; a2与S3; a1与an; q与an其中一定能成为该数列“基本量”的是第 组(写出所有符合要求的组号)6设数列an的首项,且,记(I)求a2,a3;(II)判断数列bn是否为等比数列,并证明你的结论;(III)(理)求【专家解答】(I)a2a1+= a+,a3=a2 =a+;(II) a4 = a3+=a+, a5=a4=a+,所以b1=a1=a, b2=a3= (a), b3=a5= (a),猜想:bn是公比为的等比数列证明如下: 因为bn+1a2n+1=a2n= (a2n1)=bn, (nN*) 所以bn是首项为a, 公比为的等比数列(III)(理)高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前n项和及其性质,数列的极限、无穷等比数列的各项和【热点透析】高考对本专题考查比较全面、深刻,每年都不遗漏其中小题主要考查间相互关系,呈现“小、巧、活”的特点;大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不等式,解析几何 等知识结合,考查基础知识、思想方法的运用,对思维能力要求较高,注重试题的综合性,注意分类讨论突破重难点【范例1】已知等差数列前三项为a,4,3a,前n项和为Sn,Sk = 2550() 求a及k的值; () 求()解析()设该等差数列为an,则a1 = a,a2 = 4,a3 = 3a,Sk = 2550由已知得a3a = 24, 解得a1 = a = 2,公差d = a2a1= 2 由得 ,解得 k = 50 a = 2,k = 50 ()由得Sn= n (n1), , 【点睛】错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法【文】是等差数列的前n项和,已知的等比中项为,的等差中项为1,求数列的通项解析 由已知得, 即 ,解得或 或 经验证 或 均满足题意,即为所求【点睛】若是等差数列的前n项和,则数列也是等差数列本题是以此背景设计此题【范例2】已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比数列,求数列an的通项an .解析 10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n2) 当a1=3时,a3=13,a15=73 a1, a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3【点睛】求数列的通项公式是数列的基本问题,一般有三种类型:(1)已知数列是等差或等比数列,求通项,破解方法:公式法或待定系数法;(2)已知Sn,求通项,破解方法:利用Sn-Sn-1= an,但要注意分类讨论,本例的求解中检验必不可少,值得重视;(3)已知数列的递推公式,求通项,破解方法:猜想证明法或构造法。【文】已知等比数列的前项和为,且(1)求、的值及数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和解析 (1)当时,而为等比数列,得,即,从而 又(2), 两式相减得,因此,【范例3】下表给出一个“三角形数阵”:, 已知每一列的数成等差数列;从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等记第i行第j列的数为aij ( ij, i, jN*)(1) 求a83;(2) 试写出a ij关于i, j的表达式;(3) 记第n行的和为An,求解析 (1)由题知成等差数列,且,所以公差。又成等比数列,且又公比都相等,每行的公比是 (2)由(1)知,(3)【点睛】在新颖背景数表中运用数列知识【文】在等比数列a n中,前n项和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则am, am+2, am+1成等差数列 (1)写出这个命题的逆命题;(2)判断逆命题是否为真,并给出证明解析()逆命题:在等比数列an中,前n项和为Sn,若am, am+2, am+1成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列 ()设an的首项为a1,公比为q. 由已知得2am+2= am + am+1 2a1qm+1=a1+a1qm a10 q0 ,2q2q1=0 , q=1或q=当q=1时,Sm=ma1, Sm+2= (m+2)a1,Sm+1= (m+1)a1,Sm+Sm+12 Sm+2, Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列当q=时, ,Sm+Sm+1=2 Sm+2 , Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列综上得:当公比q=1时,逆命题为假;当公比q1时,逆命题为真【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处【范例4】已知数列在直线x-y+1=0上(1) 求数列an的通项公式;(2)若函数求函数f (n)的最小值;(3)设表示数列bn的前n项和 试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由 解析 (1)在直线x-y+1=0上 (2) ,(3), 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立【点睛】点在直线上的充要条件是点的坐标满足直线的方程,即得递推式第(3)小题的探索性设问也是本题的升华【变式】设数列是等差数列,()当时,请在数列中找一项,使得成等比数列;()当时,若满足,使得是等比数列,求数列的通项公式解析()设公差为,则由,得成等比数列, 解得故成等比数列 (),故又是等比数列,则,又,【点睛】等差数列中寻找等比子数列是数列的重要内容自我提升1在等差数列中,则( A )(A) (B) (C) (D)-1或12(理)已知数列的值为( C )(A) (B) (C)1 (D)2(文)直角三角形三边成等比数列,公比为,则的值为( D )(A) (B) (C) (D)3设a n为等差数列,a 10 ,a 6+ a 70, a6 a 70成立的最大自然数n是( B ) (A)11 (B)12 (C)13 (D)14 4三个数成等比数列,且,则的取值范围是( D )(A) (B) (C) (D) 5令a n为的展开式中含xn项的系数,则数列a n的前n项和为_6这是一个计算机程序的操作说明:(1)初始值为x=1,y=1,z=0,n=0;(2)nn+1(将当前n+1的值赋予新的n)(3)x = x+2(将当前的x=2的值赋予新的x)(4)y =2 y (将当前2y的值赋予新的y)(5)z = z + x y(将当前z+xy的值赋予新的z)(6)如果z7000,则执行语句(7),否则回语句(2)继续进行;(7)打印n,z;(8)程序终止由语句(7)打印出的数值为n=8,z=76827已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上() 求数列的通项公式;() 设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;解析 ()设二次函数f (x)ax2+bx (a0),则=2ax+b,又=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x又因为点均在函数的图像上,所以3n22n当n2时,anSnSn1(3n22n)6n5当n1时,a1S13122615,所以,an6n5 ()()由()得知,故Tn(1)因此,要使(1)()恒成立的m,必须且仅须满足,即m10,所以满足要求的最小正整数m为10 【文】设等差数列an的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn. ()若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式;()若a16,a110,S1477,求所有可能的数列an的通项公式.解析:()由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此,an的通项公式是an=222n,n=1,2,3()由得即由+得7d11。即d. 由+得13d1,即d.于是d, 又dZ,故d=1,将代入得10a112.又a1Z, 故a1=11或a1=12.所以,所有可能的数列an的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3, 8(理)数列的前项和满足:(1)求数列的通项公式;(2)数列中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由解析:(1)当时有:两式相减得: 数列是首项6,公比为2的等比数列从而 (2)假设数列中存在三项,它们可以构成等差数列, 因此只能是,即 、均为正整数,(*)式左边为奇数右边为偶数,不可能成立。因此数列中不存在可以构成等差数列的三项。【文】在等差数列中,前项和满足, ()求数列的通项公式;()记,求数列的前项和解析()设等差数列的公差为,由得,所以,即,所以()由,得故,当时,;当时,即
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