2019年高考数学一轮复习 第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布 课时分层作业六十九 10.6 几何概型 理.doc

2019年高考数学一轮复习 第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布 课时分层作业六十九 10.6 几何概型 理一、选择题(每小题5分,共35分)1.在区间0,2上随机取一个数x,使|x-1|成立的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.由|x-1|,得x或x,由图可知,所求概率P=.2.(xx咸阳模拟)某路公共汽车每5分钟发车一次,某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过2分钟的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.试验的全部结果构成的区域长度为5,所求事件的区域长度为2,故所求概率P=.3.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点P,则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合,且棱长为1的正方体,该正方体的体积是V1=13=1,而原正方体的体积为V=33=27,故所求的概率P=.【变式备选】一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为_.【解析】根据几何概型知识,概率为体积之比,即P=.答案:4.(xx青岛模拟)如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角=.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.由题意,知小正方形的边长为-1,故所求概率P=.【变式备选】已知等边三角形的面积为,在其内部任取一点,则该点落在三角形内切圆内的概率是()A.B.C.D.【解析】选D.如图,设等边ABC的边长为a,则a2=,解得a=2.在RtODB中,BD=1,DBO=30,所以r=BDtan 30=,SO=r2=.由几何概型的概率公式得P=.5.(xx石家庄模拟)如图,M是半径为R的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点N,连接MN,则弦MN的长度超过R的概率是()A.B.C.D.【解析】选D.由题意知,当MN=R时,MON=,所以所求概率为1-=.【变式备选】如图所示,A是圆上一定点, 在圆上其他位置任取一点A,连接AA,得到一条弦,则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.当AA的长度等于半径长度时,AOA=,A点在A点左右都可取得,故由几何概型的概率计算公式得P=.6.(xx济南模拟)已知点P,Q为圆O:x2+y2=25上的任意两点,且|PQ|6,若PQ中点组成的区域为M,在圆O内任取一点,则该点落在区域M上的概率为()A.B.C.D.【解题指南】把|PQ|4.【解析】选B.由题意得|MO|=4,所以PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示,那么在圆O内部任取一点落在M内的概率为=.7.(xx太原模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0b4,0c4.记函数f(x)满足条件为事件A,则事件A发生的概率为 ()A.B.C.D.【解题指南】把问题转化为线性规划问题求解.【解析】选C.由题意,得即表示的区域如图阴影部分所示,可知阴影部分的面积为8,所以所求概率为.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在0,1内任取一个数x,使函数y=有意义的概率是_.【解析】由lo(4x-3)0得04x-31,即x,由几何概型的概率公式,得P=.答案:【变式备选】已知函数f(x)=2x,若在1, 8上任取一个实数x0,则不等式1f(x0)8成立的概率是_.【解析】因为f(x)=2x,1f(x0)8,所以18,且1x08,解得1x03,所以所求概率为=.答案:9.(xx郑州模拟)欧阳修卖油翁中写道:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止,若铜钱是直径为2 cm的圆,中间有边长为0.5 cm的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为_.【解析】由题意得,所求概率为=.答案:10.(xx福州模拟)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为_.【解题指南】用定积分求阴影部分的面积.【解析】题干图中阴影部分的面积S=(-x)dx=,正方形OABC的面积为1.故所求概率P=.答案:1.(5分)(xx广州模拟)在区间上随机取一个数x,则sin x+cos x1,的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.因为x,所以x+.由sin x+cos x= sin1,得sin1,所以x,故要求的概率为=.2.(5分)(xx大连模拟)在-1,1上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为_.【解题指南】这是一个长度型几何概型的概率问题.根据事件发生的条件可求出k所在的区间长度.进而容易求解.【解析】若直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,则有圆心到直线的距离d=3,即-k,所以所求概率P=.答案:3.(5分)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是_.【解题指南】用分割法、间接法求阴影部分的面积.【解析】如图,设OA=2,S扇形AOB=,SOCD=11=,S扇形OCD=,所以在以OA为直径的半圆中,空白部分面积S1=-2=1,所有阴影部分面积为-2.故所求概率P=1-.答案:1-【变式备选】如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为_.【解析】设阴影部分的面积为S,由几何概型可知=,所以S=0.18.答案:0.184.(12分)(xx济南模拟)已知向量a=(2,1),b=(x,y).(1)若x-1,0,1,2,y-1,0,1,求向量ab的概率.(2)若x-1,2,y-1,1,求向量a,b的夹角是钝角的概率.【解析】(1)设“ab”为事件A,由ab,得x=2y.所有基本事件为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1), (1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1),共12个基本事件.其中A=(0,0),(2,1),包含2个基本事件.则P(A)=,即向量ab的概率为.(2)设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,可得ab0,即2x+y0且1,即2ba.若a=1,则b=-1;若a=2,则b=-1,1;若a=3,则b=-1,1.所以事件包含基本事件的个数是1+2+2=5,因为事件“分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b”的个数是15.所以所求事件的概率为=.(2)由(1)知当且仅当2ba且a0时,函数f(x)=ax2-4bx+1在区间1,+)上为增函数,依条件可知试验的全部结果所构成的区域为,构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC部分.由得交点坐标C,故所求事件的概率P=.