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第三章 3.2 直线的方程,3.2.1 直线的点斜式方程,学习目标,1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程. 2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义. 3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 直线的点斜式方程,答案,yy0k(xx0),思考 直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？,答案,答 不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示.,知识点二 直线的斜截式方程 1.直线l在坐标轴上的截距 (1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的 . (2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a,0)的 . 2.直线的斜截式方程,答案,横坐标a,ykxb,纵坐标b,思考 直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗？,答 直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.,答案,返回,题型探究 重点突破,题型一 直线的点斜式方程 例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点P(4，3)，斜率k3；,解析答案,解 直线过点P(4，3)，斜率k3， 由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4).,(2)过点P(3，4)，且与x轴平行；,解析答案,反思与感悟,解 与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3)， 即y40.,(3)过P(2，3)，Q(5，4)两点.,又直线过点P(2，3). 直线的点斜式方程为y3(x2).,1.求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率k写出方程yy0k(xx0). 2.点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但xx0除外.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 (1)过点(1，2)，且倾斜角为135的直线方程为 .,解析 ktan 1351， 由直线的点斜式方程得 y2(x1)，即xy10.,xy10,解析答案,(2)已知直线l过点A(2，1)且与直线y14x3垂直，则直线l的方程为 .,由点斜式方程知其斜率k4.,即x4y60.,x4y60,解析答案,题型二 直线的斜截式方程 例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5；,解 由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y2x5.,(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；,解析答案,(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.,反思与感悟,直线与y轴的交点到原点的距离为3， 直线在y轴上的截距b3或b3.,反思与感悟,1.本例(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y x3”. 2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零.,解析答案,跟踪训练2 已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的斜截式方程.,解 由斜截式方程，知直线l1的斜率k12， 又因为ll1，所以l的斜率kk12. 由题意，知l2在y轴上的截距为2， 所以l在y轴上的截距b2， 由斜截式，得直线l的方程为y2x2.,解析答案,题型三 直线过定点问题 例3 求证：不论m为何值，直线l：y(m1)x2m1总过第二象限.,证明 方法一 直线l的方程可化为y3(m1)(x2)， 直线l过定点(2，3)， 由于点(2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限. 方法二 直线l的方程可化为m(x2)(xy1)0.,无论m取何值，直线l总经过点(2，3). 点(2，3)在第二象限，直线l总过第二象限.,反思与感悟,反思与感悟,证明直线过定点的基本方法：方法一点斜式的应用，方法二代数方法处理恒成立问题的基本思想.,解析答案,跟踪训练3 已知直线y(32k)x6不经过第一象限，求k的取值范围.,函数与方程思想,数学思想,例4 已知直线ykxb，当3x4时，8y13.求此直线方程.,解析答案,解后反思,分析 利用直线ykxb与一次函数的关系，并借助一次函数的图象和性质解题. 解 记f(x)kxb(k0). 当k0时，f(x)在3，4上单调递增，,此时直线方程为y3x1. 当k0时，f(x)在3，4上单调递减，,解析答案,解后反思,解后反思,此时直线方程为y3x4. 综上所述，所求直线方程为y3x1或y3x4.,解后反思,初中学习的一次函数ykxb的图象是一条直线，其中常数k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距，这恰是直线方程的斜截式，因此可以把直线方程转化为一次函数，利用函数的单调性求解.,解析答案,解后反思,例5 已知直线l过点(1，2)和(a，b)，求其方程.,返回,忽略点斜式使用范围致错,易错点,分析 本题可利用点斜式求直线方程，注意对字母a进行讨论. 解 当a1时，直线l与x轴垂直，直线l的方程为x1；,解后反思,本题常见的错误是没有对a进行分类讨论，而是直接利用斜率公式求斜率，然后套用点斜式写直线方程.在利用点斜式或斜截式求直线方程时，要注意直线方程的点斜式yy0k(xx0)的斜截式ykxb都是在斜率k存在的前提下才能使用的，要认真分析，避免漏解.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.已知直线l的方程为2x5y100，且在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则|ab|等于( ) A.3 B.7 C.10 D.5,解析 直线l的方程为2x5y100， 令y0，得a5，令x0，得b2， 所以|ab|52|3.,A,解析答案,2.过点(1，3)且垂直于直线x2y30的直线方程为( ) A.2xy10 B.2xy50 C.x2y50 D.x2y70,A,解析 所求直线与已知直线垂直，因此其斜率为2， 故方程为y32(x1)，即2xy10.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析答案,3.过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程是( ) A.x2y10 B.x2y10 C.2xy20 D.x2y10,A,解析答案,4.直线(2m2m3)x(m22m)y4m1在x轴上的截距为1，则m的值是( ),1,2,3,4,5,A,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知直线l的倾斜角是直线yx1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l的方程为 .,解析 直线yx1的斜率为1，所以倾斜角为45， 又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90，其斜率不存在. 又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x3.,x3,课堂小结,1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线 的斜率相同，故有 k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方 程，必须化为yy1k(xx1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx1. 2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线ybk(x0)，即ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如yc是直线的斜截式方程，而2y3x4不是直线的斜截式方程.,返回,
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