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第三章 3.2 直线的方程,3.2.1 直线的点斜式方程,学习目标,1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程. 2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义. 3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 直线的点斜式方程,答案,yy0k(xx0),思考 直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?,答案,答 不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示.,知识点二 直线的斜截式方程 1.直线l在坐标轴上的截距 (1)直线在y轴上的截距:直线l与y轴的交点(0,b)的 . (2)直线在x轴上的截距:直线l与x轴的交点(a,0)的 . 2.直线的斜截式方程,答案,横坐标a,ykxb,纵坐标b,思考 直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗?,答 直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,可正、可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.,答案,返回,题型探究 重点突破,题型一 直线的点斜式方程 例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点P(4,3),斜率k3;,解析答案,解 直线过点P(4,3),斜率k3, 由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4).,(2)过点P(3,4),且与x轴平行;,解析答案,反思与感悟,解 与x轴平行的直线,其斜率k0,由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3), 即y40.,(3)过P(2,3),Q(5,4)两点.,又直线过点P(2,3). 直线的点斜式方程为y3(x2).,1.求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)定斜率k写出方程yy0k(xx0). 2.点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但xx0除外.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练1 (1)过点(1,2),且倾斜角为135的直线方程为 .,解析 ktan 1351, 由直线的点斜式方程得 y2(x1),即xy10.,xy10,解析答案,(2)已知直线l过点A(2,1)且与直线y14x3垂直,则直线l的方程为 .,由点斜式方程知其斜率k4.,即x4y60.,x4y60,解析答案,题型二 直线的斜截式方程 例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2,在y轴上的截距是5;,解 由直线方程的斜截式可知, 所求直线方程为y2x5.,(2)倾斜角为150,在y轴上的截距是2;,解析答案,(3)倾斜角为60,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.,反思与感悟,直线与y轴的交点到原点的距离为3, 直线在y轴上的截距b3或b3.,反思与感悟,1.本例(3)在求解过程中,常因混淆截距与距离的概念,而漏掉解“y x3”. 2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标,它是个数值,可正、可负、可为零.,解析答案,跟踪训练2 已知直线l1的方程为y2x3,l2的方程为y4x2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的斜截式方程.,解 由斜截式方程,知直线l1的斜率k12, 又因为ll1,所以l的斜率kk12. 由题意,知l2在y轴上的截距为2, 所以l在y轴上的截距b2, 由斜截式,得直线l的方程为y2x2.,解析答案,题型三 直线过定点问题 例3 求证:不论m为何值,直线l:y(m1)x2m1总过第二象限.,证明 方法一 直线l的方程可化为y3(m1)(x2), 直线l过定点(2,3), 由于点(2,3)在第二象限,故直线l总过第二象限. 方法二 直线l的方程可化为m(x2)(xy1)0.,无论m取何值,直线l总经过点(2,3). 点(2,3)在第二象限,直线l总过第二象限.,反思与感悟,反思与感悟,证明直线过定点的基本方法:方法一点斜式的应用,方法二代数方法处理恒成立问题的基本思想.,解析答案,跟踪训练3 已知直线y(32k)x6不经过第一象限,求k的取值范围.,函数与方程思想,数学思想,例4 已知直线ykxb,当3x4时,8y13.求此直线方程.,解析答案,解后反思,分析 利用直线ykxb与一次函数的关系,并借助一次函数的图象和性质解题. 解 记f(x)kxb(k0). 当k0时,f(x)在3,4上单调递增,,此时直线方程为y3x1. 当k0时,f(x)在3,4上单调递减,,解析答案,解后反思,解后反思,此时直线方程为y3x4. 综上所述,所求直线方程为y3x1或y3x4.,解后反思,初中学习的一次函数ykxb的图象是一条直线,其中常数k是直线的斜率,常数b是直线在y轴上的截距,这恰是直线方程的斜截式,因此可以把直线方程转化为一次函数,利用函数的单调性求解.,解析答案,解后反思,例5 已知直线l过点(1,2)和(a,b),求其方程.,返回,忽略点斜式使用范围致错,易错点,分析 本题可利用点斜式求直线方程,注意对字母a进行讨论. 解 当a1时,直线l与x轴垂直,直线l的方程为x1;,解后反思,本题常见的错误是没有对a进行分类讨论,而是直接利用斜率公式求斜率,然后套用点斜式写直线方程.在利用点斜式或斜截式求直线方程时,要注意直线方程的点斜式yy0k(xx0)的斜截式ykxb都是在斜率k存在的前提下才能使用的,要认真分析,避免漏解.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.已知直线l的方程为2x5y100,且在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则|ab|等于( ) A.3 B.7 C.10 D.5,解析 直线l的方程为2x5y100, 令y0,得a5,令x0,得b2, 所以|ab|52|3.,A,解析答案,2.过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为( ) A.2xy10 B.2xy50 C.x2y50 D.x2y70,A,解析 所求直线与已知直线垂直,因此其斜率为2, 故方程为y32(x1),即2xy10.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析答案,3.过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是( ) A.x2y10 B.x2y10 C.2xy20 D.x2y10,A,解析答案,4.直线(2m2m3)x(m22m)y4m1在x轴上的截距为1,则m的值是( ),1,2,3,4,5,A,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知直线l的倾斜角是直线yx1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程为 .,解析 直线yx1的斜率为1,所以倾斜角为45, 又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍,所以所求直线的倾斜角为90,其斜率不存在. 又直线过定点P(3,3),所以直线l的方程为x3.,x3,课堂小结,1.建立点斜式方程的依据是:直线上任一点与这条直线上一个定点的连线 的斜率相同,故有 k,此式是不含点P1(x1,y1)的两条反向射线的方 程,必须化为yy1k(xx1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为xx1. 2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况,表示过(0,b)点、斜率为k的直线ybk(x0),即ykxb,其特征是方程等号的一端只是一个y,其系数是1;等号的另一端是x的一次式,而不一定是x的一次函数.如yc是直线的斜截式方程,而2y3x4不是直线的斜截式方程.,返回,
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