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第6讲,离散型随机变量的均值与方差,理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能 计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问 题.,1.离散型随机变量的均值和方差,一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为：,则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.,2.均值和方差的性质 设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 YaXb，,aE(X)b,则 E(Y)E(aXb)_， D(Y)D(aXb)a2D(X).,3.两点分布及二项分布的均值和方差,p,np,(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)_，D(X)p(1p). (2)若 XB(n，p)，则 E(X)_，D(X)np(1p).,1.已知随机变量的分布列是：,B,则 D()(,),A.0.6,B.0.8,C.1,D.1.2,D,2.已知的分布列为：,A.E()p，D()pq B.E()p，D()p2 C.E()q，D()q2 D.E()1p，D()pp2,其中 p(0,1)，则( ),3.已知 X 的分布列如下表，设 Y2X1，则 Y 的数学期望,是(,),B,C,考点 1,离散型随机变量的均值,例 1：(2014 年天津)某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名 女同学.在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同 学来自物理、化学等其他互不相同的 7 个学院.现从这 10 名同 学中随机选取 3 名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选 到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同的学院的概率； (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望.,解：(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事 件 A，则,所以随机变量 X 的分布列为：,【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：,则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型 分布列，可直接套用公式E(X)x1p1x2p2xipixnpn 求其均值.随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽 取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算.,【互动探究】,1.(2013 年广东)已知离散型随机变量 X 的分布列为：,A,则 X 的数学期望 E(X)(,),考点 2,离散型随机变量的方差,例 2：(2013 年浙江)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出 1 个红球得 1 分，取出 1 个黄球 2 分， 取出 1 个蓝球得 3 分. (1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取 2 个球(有放 回，且每个球取到的机会均等)，记随机变量为取出这 2 个球 所得分数之和，求的分布列； (2)从该袋子中任取 1 个球(且每个球取到的机会均等)，记 bc.,解：(1)由已知，得当两次取出的球分别是红红时，2，,当两次取出的球分别是红黄，或黄红时，3，,当两次取出的球分别是黄黄，红蓝，或蓝红时，4，,当两次取出的球分别是蓝蓝时，6，,所以的分布列是：,当两次取出的球分别是黄蓝，或蓝黄时，5，,(2)由已知，得有三种取值即 1,2,3，所以的分布列是：,故 abc321.,【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：,xnE(X)2pn为随机变量X的方差,(2)若X 是随机变量，且YaXb，其中a，b 是常数，则 Y 也是随机变量，则 E(Y)E(aXb)aE(X)b，D(Y)D(aX b)a2D(X).,(3)均值体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变 量的均值相等，还要看随机变量的取值在均值周围的变化，方 差大，说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中.,【互动探究】,考点 3,二项分布的综合应用,例 3：(2014 年广东)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名 工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44, 40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36 ， 根 据上述数据得到样本的频率分布表如下：,(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；,(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； (3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有,1 人的日加工零件数落在区间(30,35的概率.,解：(1)n17，n22，f10.28，f20.08. (2)样本频率分布直方图如图 9-6-1.,图9-6-1,(3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区,间(30,35的概率为 0.2，,设所取的4 人中，日加工零件数落在区间(30,35的人数为，,则B(4,0.2).,P(1)1P(0)1(10.2)410.409 60.590 4， 所以所取的 4 人中，至少有 1 人的日加工零件数落在区间,(30,35的概率约为 0.590 4.,【互动探究】,3.(2013 年福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了,人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会 结束后凭分数兑换奖品.,(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们,的累计得分为 X，求 X3 的概率；,(2)若小明、小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问： 他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？,思想与方法,利用分类讨论思想求数学期望,例题：(2014 年湖北)计划在某水库建一座至多安装 3 台发 电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水的年入流量 X(年 入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米) 都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不 超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年，将年入流量 在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量 相互独立.,(1)求在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概,率；,(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最,多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：,若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发 电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的 均值达到最大，应安装发电机多少台？,(2)记水电站年总利润为 Y 万元. 安装 1 台发电机的情形.,由于水库年入流量总大于40，故1 台发电机运行的概率为,1，对应的年利润 Y5000，E(Y)500015000；,安装 2 台发电机的情形.,依题意，当 40X80 时，1 台发电机运行，此时 Y5000 800 4200 ，因此 P(Y 4200) P(40X80) p1 0.2 ；当 X80 时，2 台发电机运行，此时 Y5000210 000，因此 P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.,由此得 Y 的分布列如下：,所以 E(Y)42000.210 0000.88840； 安装 3 台发电机的情形.,依题意，当40120时，3台发电机运行，此时Y5000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.,由此得 Y 的分布列如下：,所以 E(Y)34000.292000.715 0000.18620. 综上所述，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装,发电机 2 台.,【规律方法】本题考查学生在不同背景下迁移知识的能力， 关键在于如果迅速、准确将信息提取、加工，构建数学模型， 化归为数学期望问题.,
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