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第三章 3.3 几何概型,3.3.1 几何概型,学习目标,1.了解几何概型与古典概型的区别. 2.理解几何概型的定义及其特点. 3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一 几何概型的含义,1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 . (2)每个基本事件出现的可能性 .,无限多个,相等,答案,构成该事件区域的长度(面积或体积),思考 几何概型与古典概型有何区别？,答 几何概型与古典概型的异同点,答案,知识点二 几何概型的概率公式,P(A) .,思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？,答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量.,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一 与长度有关的几何概型,例1 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？,解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.,把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，,因为中间一段的长度为1 m，,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.,跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a的平行线.把一枚半径ra的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.,解 设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A. 如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r的两条平行虚线，,则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰.,解析答案,题型二 与面积有关的几何概型,例2 射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm，靶心直径为12.2 cm，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？,解析答案,反思与感悟,解 如图，记“射中黄心”为事件B.,反思与感悟,反思与感悟,解此类几何概型问题的关键： (1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题. (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率.,跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.,解 如图所示，区域是长30 m、宽20 m的长方形.,图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超 过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴 影部分的概率. 由于区域的面积为3020600(m2)， 阴影部分的面积为30202616184(m2).,即海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率约为0.31.,解析答案,题型三 与体积有关的几何概型,例3 已知正三棱锥SABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于 的概率.,解析答案,反思与感悟,解 如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1， B1，C1分别为SA，SB，SC的中点， 则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，,设ABC的面积为S，由ABCA1B1C1，且相似比为2，得A1B1C1的面积为 .,反思与感悟,反思与感悟,如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积.其概率的计算公式为 P(A),跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率.,解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1. 则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.,解析答案,题型四 与角度有关的几何概型,例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60角的终 边上，任作一条射线OA，求射线OA落在xOT内的概率.,解 以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何 位置都是等可能的，落在xOT内的概率只与xOT的大小有关，符合几何概型的条件. 于是，记事件B射线OA落在xOT内.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段.,跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AMAC的概率.,解 因为CM是ACB内部的任意一条射线， 而总的基本事件是ACB的大小，即为90，,如图，当CM在ACC内部的任意一个位置时，皆有AMACAC，,解析答案,转化与化归思想,思想方法,例5 把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.,分析 将长度为a的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可.,分析,解后反思,解析答案,返回,解 设将长度为a的木棒任意折成三段的长分别为x，y，axy，,设事件M能构成一个三角形， 则当(x，y)满足下列条件时，事件M发生.,解后反思,解析答案,它所构成的区域为图中的阴影部分，,解后反思,解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题.一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.在区间0,3上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ),C,解析答案,1,2,3,4,5,2.在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|1的概率为( ),解析 问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，,A,解析答案,1,2,3,4,5,3.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域. 在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是 ，则阴影区域的面积是( ),解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型. 设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构成的区域是阴影部分. 设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，,C,解析答案,1,2,3,4,5,4.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ),解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的， 可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件. 事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，,C,解析答案,1,2,3,4,5,5.在1 000 mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_.,解析答案,课堂小结,返回,1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型. 2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目. 3.注意理解几何概型与古典概型的区别. 4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为,
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