2019-2020年高中数学 第一章 集合与函数概念 第3节 函数的基本性质（3）教案 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中数学 第一章 集合与函数概念 第3节 函数的基本性质（3）教案 新人教A版必修1教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y与y2x1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明三维目标1理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力2学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式课时安排1课时导入新课思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数yx2和yx3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性推进新课(1)如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性图1(2)那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？表1x3210123f(x)x2表2x3210123f(x)|x|(3)请给出偶函数的定义？(4)偶函数的图象有什么特征？(5)函数f(x)x2，x1,2是偶函数吗？(6)偶函数的定义域有什么特征？(7)观察函数f(x)x和f(x)的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生：(1)观察图象的对称性(2)学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数(3)利用函数的解析式来描述(4)偶函数的性质：图象关于y轴对称(5)函数f(x)x2，x1,2的图象关于y轴不对称；对定义域1,2内x2，f(2)不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数x不一定也在定义域内，即f(x)f(x)不恒成立(6)偶函数的定义域中任意一个x的相反数x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称(7)先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质讨论结果：(1)这两个函数之间的图象都关于y轴对称(2)表1X3210123f(x)x29410149表2x3210123f(x)|x|3210123这两个函数的解析式都满足：f(3)f(3)；f(2)f(2)；f(1)f(1)可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(x)f(x)(3)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数(4)偶函数的图象关于y轴对称(5)不是偶函数(6)偶函数的定义域关于原点对称(7)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点对称思路1例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x4；(2)f(x)x5；(3)f(x)x；(4)f(x).活动：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(x)f(x)或f(x)f(x)解：(1)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(x)(x)4x4f(x)，所以函数f(x)x4是偶函数(2)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(x)(x)5x5f(x)，所以函数f(x)x5是奇函数(3)函数的定义域是(，0)(0，)，对定义域内任意一个x，都有f(x)x(x)f(x)，所以函数f(x)x是奇函数(4)函数的定义域是(，0)(0，)，对定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，所以函数f(x)是偶函数点评：本题主要考查函数的奇偶性函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数；若f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则f(x)是奇函数变式训练设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()Af(x)f(x)是奇函数 Bf(x)|f(x)|是奇函数Cf(x)f(x)是偶函数 Df(x)f(x)是偶函数 解析：A中设F(x)f(x)f(x)，则F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数F(x)f(x)f(x)为偶函数；B中设F(x)f(x)|f(x)|，F(x)f(x)|f(x)|，此时F(x)与F(x)的关系不能确定，即函数F(x)f(x)|f(x)|的奇偶性不确定；C中设F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数F(x)f(x)f(x)为奇函数； D中设F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数F(x)f(x)f(x)为偶函数答案：D例2已知函数f(x)是定义在(，)上的偶函数当x(，0)时，f(x)xx4，则当x(0，)时，f(x)_.活动：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0，)上的自变量对应的函数值，转化为区间(，0)上的自变量对应的函数值利用偶函数的性质f(x)f(x)，将在区间(0，)上的自变量对应的函数值，转化为区间(，0)上的自变量对应的函数值解析：当x(0，)时，则x0时，f(x)x2，求f(x)解：当x0时，f(0)f(0)，则f(0)0；当x0，由于函数f(x)是奇函数，则f(x)f(x)(x)2x2，综上所得，f(x)思路2例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)2x4，x1,2；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x).活动：学生思考奇偶函数的定义和函数的定义域的求法先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(x)与f(x)的关系在(4)中注意定义域的求法，对任意xR，有|x|x，则x0.则函数的定义域是R.解：(1)它的定义域关于原点不对称，函数f(x)2x4，x1,2既不是奇函数也不是偶函数(2)它的定义域为x|xR且x1，并不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)x240且4x20，x2，即f(x)的定义域是2,2f(2)0，f(2)0，f(2)f(2)，f(2)f(2)f(x)f(x)，且f(x)f(x)f(x)既是奇函数也是偶函数(4)函数的定义域是R.f(x)f(x)0，f(x)f(x)f(x)是奇函数点评：本题主要考查函数的奇偶性定义法判断函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(x)与f(x)或f(x)是否相等；(2)当f(x)f(x)时，此函数是偶函数；当f(x)f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数判断解析式复杂的函数的奇偶性时，如果定义域关于原点对称时，通常化简f(x)f(x)来判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否成立变式训练 函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A有最小值B有最大值C是减函数 D是增函数解析：函数f(x)x22axa的对称轴是直线xa，由于函数f(x)在开区间(，1)上有最小值，所以直线xa位于区间(，1)内，即a1.g(x)x2，下面用定义法判断函数g(x)在区间(1，)上的单调性设1x1x2，则g(x1)g(x2)(x12)(x22)(x1x2)()(x1x2)(1)(x1x2).1x1x2，x1x210.又aa.x1x2a0.g(x1)g(x2)0.g(x1)1时f(x)0，f(2)1，(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)试比较f()与f()的大小活动：(1)转化为证明f(x)f(x)，利用赋值法证明f(x)f(x)；(2)利用定义法证明单调性，证明函数单调性的步骤是“去比赛”；(3)利用函数的单调性比较它们的大小，利用函数的奇偶性，将函数值f()和f()转化为同一个单调区间上的函数值解：(1)证明：令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.令x1x21，得f(1)f(1)(1)f(1)f(1)，2f(1)0.f(1)0.f(x)f(1x)f(1)f(x)f(x)f(x)是偶函数(2)证明：设x2x10，则f(x2)f(x1)f(x1)f(x1)f(x1)f()f(x1)f()x2x10，1.f()0，即f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上是增函数(3)由(1)知f(x)是偶函数，则有f()f()由(2)知f(x)在(0，)上是增函数，则f()f()f()f()点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较其关键是将所给的关系式进行有效的变形和恰当的赋值变式训练 已知f(x)是定义在(，)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x)都满足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由 分析：(1)利用赋值法，令xy1得f(1)的值，令xy1，得f(1)的值；(2)利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(x)f(x)解：(1)f(x)对任意x，y都有f(xy)yf(x)xf(y)，令xy1时，有f(11)1f(1)1f(1)f(1)0. 令xy1时，有f(1)(1)(1)f(1)(1)f(1)f(1)0.(2)是奇函数f(x)对任意x，y都有f(xy)yf(x)xf(y)，令y1，有f(x)f(x)xf(1)将f(1)0代入得f(x)f(x)，函数f(x)是(，)上的奇函数.课本本节练习，1,2.补充练习1设函数yf(x)是奇函数若f(2)f(1)3f(1)f(2)3，则f(1)f(2)_.解析：函数yf(x)是奇函数，f(2)f(2)，f(1)f(1)f(2)f(1)3f(1)f(2)3.2f(1)f(2)6.f(1)f(2)3.答案：32已知f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.解析：偶函数的定义域关于原点对称，a12a0.a.f(x)x2bx1b.又f(x)是偶函数，b0.答案：03已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为()A1B0C1D2解析：f(6)f(42)f(4)f(22)f(2)f(20)f(0)又f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.f(6)0.故选B.答案：B问题：基本初等函数的奇偶性探究：利用判断函数的奇偶性的方法：定义法和图象法，可得正比例函数ykx(k0)是奇函数；反比例函数y(k0)是奇函数；一次函数ykxb(k0)，当b0时是奇函数，当b0时既不是奇函数也不是偶函数；二次函数yax2bxc(a0)，当b0时是偶函数，当b0时既不是奇函数也不是偶函数本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称课本习题1.3，A组，6，B组，3.单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，而本节设计的题目不多，因此，在实际教学中，教师可以利用课余时间补充，让学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质在教学设计中，注意培养学生的综合应用能力，以便满足高考要求奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立(3)f(x)f(x)f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)是奇函数(4)f(x)f(x)f(x)f(x)0，f(x)f(x)f(x)f(x)0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数yf(x)和yg(x)的奇偶性相同，那么复合函数yfg(x)是偶函数，如果函数yf(x)和yg(x)的奇偶性相反，那么复合函数yfg(x)是奇函数，简称为“同偶异奇”(6)如果函数yf(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a，b)和(b，a)上具有相同的单调性；如果函数yf(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a，b)和(b，a)上具有相反的单调性(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x).(8)若f(x)是(a，a)(a0)上的奇函数，则f(0)0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)f(|x|)若函数yf(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)0.实习作业作者：曹齐平，福鼎一中教师本教学设计获福建省教学大赛三等奖.教学内容分析普通高中课程标准实验教科书数学(1)(人教A版)实习作业本节课程体现数学文化的特色，学生通过了解函数的发展历史进一步感受数学的魅力学生在自己动手收集、整理资料信息的过程中，对函数的概念有更深刻的理解，感受新的学习方式带给他们学习数学的乐趣学生学习情况分析该内容在普通高中课程标准实验教科书数学(1)(人教A版)第一章末学生第一次完成实习作业，积极性高，有热情和新鲜感，但缺乏经验，所以需要教师精心设计，作好准备工作，充分体现教师的“导演”角色特别在分组时注意学生的合理搭配(成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等)，选题时，各组之间尽量不要重复，尽量多地选不同的题目，可以让所有的学生在学习共享的过程中受到更多的数学文化的熏陶设计思想标准强调数学文化的重要作用，体现数学文化的价值数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神教学目标1了解函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物2体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐3在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民主价值观重点难点教学重点：了解函数在数学中的核心地位，以及在生活中的广泛应用教学难点：培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力课堂准备1分组：46人为一个实习小组，确定一人为组长教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加2选题：根据个人兴趣初步确定实习作业的题目教师应该到各组中去了解选题情况，尽量多地选择不同的题目参考题目：(1)函数产生的社会背景；(2)函数概念发展的历史过程；(3)函数符号的故事；(4)数学家(如：开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、贝努利、欧拉、柯西、狄里克雷、罗巴契夫斯基等)与函数；(5)也可自拟题目3分配任务：根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务4搜集资料：针对所选题目，通过各种方式(相关书籍函数在你身边世界函数通史世界著名科学家传记等；相关网页pep.cn、http：/i3721/cz/tbjak/qnj/bsdb8njsxxc/xx05/43459.html等)搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料，写出实习报告实习报告年月日题目组长及参加人员教师审核意见及等级正文备注(指出参考文献或相关网页)5投影仪、多媒体6把各组的实习报告，贴在班级的学习栏内，让学生相互学习交流教学过程1出示课题：交流、分享实习报告2交流、分享：(由数学科代表主持小组推荐中心发言人；以下记录均为发言概述)(1)学生1：函数小史数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用我们刚学过的函数就是这样的重要概念在笛卡儿引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域最早提出函数(function)概念的是17世纪德国数学家莱布尼兹最初莱布尼兹用“函数”一词表示幂.1755年，瑞士数学家欧拉给出了不同的函数定义中文数学书上使用的“函数”一词是转译词，是我国清代数学家李善兰在翻译代数学(1895年)一书时，把“function”译成“函数”的我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展(2)教师带头鼓掌并简单评价(3)学生2：函数概念的纵向发展：该同学从早期函数概念几何观念下的函数到十八世纪函数概念代数观念下的函数，其中包括18世纪中叶著名的数学家欧拉对函数概念发展的贡献接着又讲述了十九世纪函数概念对应关系下的函数以及现代函数概念集合论下的函数函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式(4)教师带头鼓掌并简单评价(5)学生3：我国数学家李国平与函数：学生3描述了数学家、中国科学院数学物理学部委员李国平(19101996)的身世和他的成长历程李国平，1933年毕业于中山大学数学天文系，后历任中国科学院数学计算技术研究所所长，中国科学院武汉数学物理研究所所长，中国数学会理事，中国科学院学部委员等职务学生还通俗地讲述了李国平先生在微分方程、复变函数论领域的卓越贡献(6)教师带头鼓掌并简单评价(7)学生4：函数概念对数学发展的影响：该学生从历史上重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的事实出发，讲述了函数概念对数学发展的深刻影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展、数学学习的巨大作用函数概念来源于代数学中不定方程的研究由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽该学生说道，早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等.1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要(8)教师带头鼓掌并简单评价(9)学生5：函数概念的历史演变过程：该学生说，数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式这就决定了数学与其他自然科学的区别，也决定了数学的特殊性如果在两个集合元素之间存在着确定的对应关系，就称为是一个映射上述函数概念的历史演变过程就是一系列弱抽象的过程学生展示了下表：(10)教师带头鼓掌并简单评价3实习作业的评定：实习作业评价参考意见级别标准很好1.小组配合默契(有计划、任务分配合理、每人积极认真)；2报告材料丰富、可靠，线索清晰；3拥有自己的独立见解好1.小组配合良好；2报告材料丰富、可靠，线索较清晰；3有一定的独立见解一般1.小组配合一般；2报告材料一般、线索基本清晰；3有一定的分析较差1.小组配合欠佳；2报告材料贫乏、线索不够清晰.实习作业是新课程的一个亮点，是培养学生的团队精神，体验合作学习的方式的重要途径但事实上，实习作业很容易被教师忽视，所以想通过该教学设计引起教师们的重视在高一刚开始的时候，如何做好第一次实习作业，是很关键的就目前的学校条件和学生情况，是完全可以做好实习作业的，事实证明学生做得很好可以通过这次实习作业，让学生体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐再者，通过对数学家的了解，感受数学家的精神，增加学好数学的信心，为今后的学习打下良好的基础