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第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法,知识链条完善,考点专项突破,解题规范夯实,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.综合法和分析法有什么区别与联系? 提示:(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是寻求它成立的充分条件.(2)综合法的特点是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是寻找它成立的必要条件.(3)分析法易于探索解题思路,综合法易于过程表述,在应用中视具体情况择优选之. 2.用反证法证明问题的一般步骤有哪些? 提示:(1)反设(否定结论):假定所要证的结论不成立,而结论的反面成立;(2)归谬(推导矛盾):将“反设”作为条件,由此出发,经过正确的推理导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(3)定论(肯定结论):矛盾产生的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.,3.数学归纳法两个步骤有什么关系? 提示:数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两个步骤缺一不可,否则就会导致错误. 第一步中, 验算n=n0中的n0不一定为1,根据题目要求,有时可为2或3等.,知识梳理,1.直接证明 (1)综合法 定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出 的证明方法. (2)分析法 定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为 (已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法. 2.间接证明反证法 一般地,假设原命题 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明 ,从而证明了 ,这样的证明方法叫做反证法.,所要证明的结论成立,判定一个明显成立的条件,不成立,假设错误,原命题成立,3.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)归纳奠基:证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立; (2)归纳递推:假设 时命题成立,证明当 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.,n=k(kn0,kN*),n=k+1,夯基自测,1.命题“对于任意角,cos4-sin4=cos 2”的证明:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”过程应用了( ) (A)分析法 (B)综合法 (C)综合法、分析法结合使用 (D)间接证法,解析:在证明过程中使用了大量的公式和结论,有平方差公式,同角的关系式,所以在证明过程中,使用了综合法的证明方法.,B,解析:应选择分析法.,B,3.用反证法证明命题“若a,bN,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应该是( ) (A)a,b都能被5整除 (B)a,b都不能被5整除 (C)a,b不都能被5整除 (D)a能被5整除,解析:“至少有一个”的反面应是“一个都没有”.故应选B.,B,答案:2k,答案:-b,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,综合法,反思归纳 (1)综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证结论的真实性. (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.,考点二,分析法,证明:因为m0, 所以1+m0, 所以要证原不等式成立, 只需证明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2), 即证m(a2-2ab+b2)0, 即证(a-b)20, 而(a-b)20显然成立, 故原不等式得证.,反思归纳,(1)分析法是“执果索因”的证明方法,它是从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证. (2)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论,再说明所要证明的数学问题成立.,反证法,考点三,反思归纳,(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证. (2)利用反证法进行证明时,一定要对所要证明的结论进行否定性的假设,并以此为条件进行归谬,得到矛盾,则原命题成立.,数学归纳法,考点四,(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.,反思归纳,(1)利用数学归纳法可以证明与n有关的命题,也可以解决与正整数n有关的探索性问题,其基本模式是“归纳猜想证明”.证明的关键是假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立,由归纳假设推证n=k+1时命题成立. (2)证明n=k+1(kN*,kn0)时命题成立的常用技巧. 分析n=k+1时命题与n=k时命题形式的差别,确定证明目标. 证明恒等式时常用乘法公式、因式分解、添拆项配方等;证明不等式常用分析法、综合法、放缩法等.,备选例题,【例1】 (2014高考北京卷)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),(an,bn), 记T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+maxTk-1(P),a1+a2+ak(2kn),其中max Tk-1(P),a1+a2+ak表示Tk-1(P)和a1+a2+ak两个数中最大的数, (1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;,解:(1)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+maxT1(P),2+4=1+max7,6=8;,(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P:(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P)的大小; (3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值(只需写出结论).,解:(2)T2(P)=maxa+b+d,a+c+d,T2(P)=maxc+d+b,c+a+b. 当m=a时,T2(P)=maxc+d+b,c+a+b=c+d+b, 因为a+b+dc+d+b,且a+c+dc+b+d, 所以T2(P)T2(P); 当m=d时,T2(P)=maxc+d+b,c+a+b=c+a+b, 因为a+b+dc+a+b,且a+c+dc+a+b, 所以T2(P)T2(P); 所以无论m=a还是m=d,T2(P)T2(P)都成立; (3)数对(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)最小;T1(P)=10,T2(P) =26;T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.,【例3】 是否存在常数a,b,c使等式1(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2 +c对一切正整数n成立?证明你的结论.,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,正确选用合理的数学证明方法,【典例】 函数f(x)=x2-2x-3.定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标. (1)证明:2xnxn+13; (2)求数列xn的通项公式.,答题模板:第一步:使用数学归纳法证明第一问,先验证n=1时结论成立. 第二步:在归纳假设下,证明当n=k+1时结论也成立,根据数学归纳法原理作出命题对一切正整数都成立的结论. 第三步:通过构造辅助数列的方法解决第二问. 第四步:把问题转化为等比数列的通项,并求出其通项公式. 第五步:把辅助数列的通项公式转化为所求数列的通项公式.,
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