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2019-2020年高中数学 2.1.2椭圆的几何性质教案(5) 湘教版选修1-1教学目标1、掌握椭圆的几何性质,掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系2、熟练地求弦长、面积、对称等问题3、培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力教学过程1、复习回顾椭圆的定义、几何性质判断直线与圆的位置关系的方法2、探索研究直线与椭圆的位置关系:坐标法(围绕直线与椭圆的公共点展开的),将直线方程与椭圆方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,当0时,直线与椭圆相切;当0时,直线与椭圆相交;当0时,直线与椭圆相离。3、反思应用例1当m为何值时,直线l:yxm与椭圆9x216y2144相切、相交、相离?分析:将直线方程yxm代入椭圆9x216y2144中,得9x216(xm)2144,整理,得25x232mx16m21440,(32m)2425(16m2144)576m214400当0即m5时,直线与椭圆相切;当0即5m5时,直线与椭圆相交;当0即m5或m5时,直线与椭圆相离。例2已知斜率为1的直线l经过椭圆x24y24的右焦点交椭圆于A、B两点,求弦长|AB|。分析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由椭圆方程知:a2=4,b2=1,c2=3,右焦点,直线l的方程为,代入椭圆得小结:弦长公式例3过椭圆x2/16y2/41内一点M(2,1)引一条弦AB,使AB被点M平分,求弦AB所在直线的方程。解一:当弦AB的斜率不存在时,弦AB的方程为x=2,不合题意舍去设弦AB所在直线的方程为:y1k(x2),代入椭圆方程并整理得(4k21)x28(2k2k)x4(k21)2160,又设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2为方程的两个根,于是,又M为AB的中点,解之得k1/2,故所求弦AB的方程是x2y40解二:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(2,1)为AB的中点,x1x24,y1y22又A、B两点在椭圆上,x124y1216,x,224y2216,两式相减得x12x224(y12y22)0,故所求弦AB的方程是x2y40解三:设A(x,y),由M(2,1)为AB的中点得B(4x,2y)A、B两点在椭圆上,x24y216,(4x)24(2y)216,两式相减得x2y40,由于过A、B的直线只有一条,故所求弦AB的方程是x2y40小结:解一常规解法;解二是解决有关中点弦问题的常用方法;解三利用曲线系解题。例4试确定实数m的取值范围,使椭圆x2/4y2/31上存在两点关于直线l:y2xm对称。解一:设存在A(x1,y1),B(x2,y2) 关于直线l:y2xm对称,故可设直线AB的方程为y2xt,代入椭圆方程x2/4y2/31,并整理得x2txt230,则t24(t23)0。解得2t2。x1x2t,AB的中点M为(t/2,3t/4),M在直线l上,3t/42t/2m,即mt/4,从而1/2m1/2.解二:设存在A(x1,y1),B(x2,y2) 关于直线l:y2xm对称,,则ABl,且AB的中点M在l上,设AB的中点M(x0,y0),则x1x22x0,y1y22y0,又A、B两点在椭圆上,3x124y1212,3x,224y2212,两式相减得3(x12x22)4(y12y22)0,即y03x0/2,又y02x0m,解得x02m,y03m,点M在椭圆内,即m23m21,解得1/2m1/2.例5椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点,且|PQ|20/9,OPOQ,求此椭圆的方程。解:设椭圆方程为x2/a2y2/b21(ab0),左焦点F(c,0)当PQx轴时,|FP|FQ|b2/a,由OPOQ知|FO|FQ|,即cb2/a,aca2c2,即e2e10,解得,这与条件不符,PQ不垂直x轴设PQ:yk(xc),P(x1,y1),Q(x2,y2),设a2t,,则bt椭圆方程可化为x24y24t2(t0),将直线PQ的方程代入椭圆方程得,则x1、x2为方程的根OPOQ,x1x2y1y20,即整理得:,整理得k24/11,此时|PQ|20/9,即所以所求椭圆方程为x2/4y214、归纳总结数学思想:数形结合、函数与方程知识点:直线与椭圆的位置关系、弦长公式、中点弦问题、对称问题作业:1、直线l与椭圆方程为4x29y236交于A、B两点,并且AB的中点M(1,1),求直线l的方程。2、求焦点,截直线l:y2x1所得弦中点的横坐标为2/7的椭圆的标准方程。答案:4x9y130; x2/75y2/251
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