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3.2 平面向量基本定理,平面向量基本定理与基底 (1)平面向量基本定理： (2)基底：成为基底的条件：向量e1,e2_.,不共线,任一,1e1+2e2,不共线,1判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)平面内的两个向量e1,e2，对于任一向量a，都有a=1e1+ 2e2(1,2R).( ) (2)基底中可以含有零向量.( ) (3)向量e1-e2，-e1+e2可以作为一组基底.( ),2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)在平面向量基本定理中,若a=0,则1=2=_. (2)在平面向量基本定理中,若ae1,则2=0；若ae2,则1=_. (3)当向量a与b共线时，这两向量的夹角=_.,【解析】1.(1)错误.当e1,e2共线时不一定成立. (2)错误.零向量与任意向量共线，因此基底中不能含有零向量. (3)错误.因为e1e2=-(e1+e2)，两向量共线，所以不能作为一组基底. 答案：(1) (2) (3),2.(1)当a=0，即1e1+2e2=0时,因为0e1+0e2=0,所以根据实数1, 2相对于基底e1,e2唯一性知1=2=0. 答案：0 (2)当ae1时,a=e1=1e1+2e2,所以根据实数1, 2相对于基底e1,e2唯一性知1=,2=0.同理可知当ae2时1=0. 答案：0,(3)当向量a与b共线，即两向量同向时夹角=0，反向时夹角=180. 答案：0或180,【要点探究】 知识点 平面向量基本定理 对平面向量基本定理的理解 (1)基底是同一平面内的两个不共线向量. (2)对给定的向量a，实数1，2相对于基底e1，e2是唯一的. 但是向量a对于不同的基底可以有不同的表示，即对应不同的实数1,2.,(3)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平面内任意三个不共线向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.根据需要，只要选取的两向量不共线都可作为基底.,【知识拓展】直线方程的向量表示式 如图，点P在l上， 所以存在t使 所以 = 反过来，设点P满足 则 即P在l上. 所以满足 的点P一定在l上.,【微思考】 平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系？ 提示：平面向量基本定理体现了向量的线性运算，即用两个不共线向量的线性运算表示平面内任一向量.,【即时练】 1.如图所示，向量 可用向量e1,e2表示为_.,2.已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四 组向量中能作为一组基底的是_. e1和e1+e2； e1+e2和e1-e2； e1-2e2和4e2-2e1； e1和e1-e2. 3.平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，用向量 作为基 底表示向量 =_.,【解析】1.由图可知， =4e1+3e2. 答案： =4e1+3e2 2.由向量加法的平行四边形法则可知向量e1，e1e2， e1+e2两两不共线，而4e2-2e1=-2(e1-2e2)，所以e1-2e2与4e2-2e1共线，故可以构成一组基底的是e1和e1+e2，e1+e2和e1-e2，e1和e1e2. 答案： 3. 答案:,【题型示范】 类型一 向量的分解与作图 【典例1】 (1)(2013广东高考)设a是已知的平面向量且a0，关于向量a的分解，有如下四个命题： 给定向量b，总存在向量c，使a=b+c； 给定向量b和c，总存在实数和，使a=b+c；,给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使a=b+c； 给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使a=b+c. 上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4,(2)如图所示，已知向量e1,e2,a=e1+2e2,b=2e1+e2,作出向量a-b.,【解题探究】1.题(1)中a分解的依据是什么? 2.题(2)中两个向量的差能否直接用向量减法法则作图？ 【探究提示】1.a向量的分解的依据是平面向量基本定理. 2.不能.需先作a，b，再利用向量运算法则作出a-b.,【自主解答】(1)选B.利用向量加法的三角形法则，易得是真命题；利用平面向量基本定理，易得是真命题；以a的终点为圆心,作半径为的圆，这个圆必须和向量b有交点，这个不一定能满足，是假命题；由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边)，即|b|+|c|=+|a|，而给定的和不一定满足此条件，所以是假命题.,(2)根据题意，可先作a，b，再作a-b. 作法： 如图所示，任取一点O，作 作平行四边形OAEC，连接OF，OE， 则 连接EF，则 就是所求的向量a-b.,【方法技巧】平面向量基本定理在作图中的应用 (1)利用向量共线定理画出与基向量共线的向量. (2)利用向量的平行四边形法则合成待求向量.,【变式训练】如图，平面内有三个向量 其中 与 的夹角为150， 与 的夹角为60，| |= | |=2，| |=2 ，若 (,R)， 则-的值是_,【解析】过C分别作OA,OB的平行线交OB,OA于E,D，则四边形 EODC为平行四边形， 在COD中，OC= ，COD=60，OCD=EOC=90，所以 OD=2OC= ，而OA=2，所以 在COE中，OC= ，OCE=60，EOC=90，所以OE= OCtan 60=6，而OB=2，所以 所以 所以= ，=3，所以-= -3. 答案： -3,【补偿训练】如图所示，已知基向量a，b，求作向量3a-2b.,【解析】作法：(1)如图所示，在平面内任取一点O，作 (2)作平行四边形OACB，连接OC，则 就是求作的向量.,类型二 用基底表示向量 【典例2】 (1)(2014商洛高一检测)如图，在平行四边形ABCD中， 则 =_(用a,b表示).,(2)如图，已知梯形ABCD中，ABCD，且AB=2CD，E，F分别是 DC，AB的中点，设 试用a,b表示,【解题探究】1.题(1)中向量 与 的关系是什么？ 2.题(2)中四边形AFCD是什么四边形？ 【探究提示】1. 2.四边形AFCD是平行四边形.,【自主解答】(1) 答案：,(2)因为DCAB，AB=2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以四边形AFCD为平行四边形， 所以 所以,【延伸探究】本例(1)中，若 其他条件不变， 则 =_. 【解析】 答案：,【方法技巧】应用平面向量基本定理时的关注点 (1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角 形中确定向量的关系. (2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等 分点等. (3)一个重要结论：设a，b是同一平面内的两个不共线的向 量，若x1a+y1b=x2a+y2b,则有,【变式训练】如图所示，D，E是ABC中AB，AC边的中点，M， N分别是DE，BC的中点，已知 =a， =b，试用a，b分别表 示 和,【解题指南】因为D,E是ABC中AB,AC边的中点，所以DE BC，故 可表达； 和 在ABC中，由向量的共线 和三角形法则表达即可.,【解析】由三角形中位线定理，知DE BC 故 即 =-a+b+ a=- a+b,【误区警示】在利用向量加法的三角形法则表示向量时，容易将向量的方向弄反，解题时要特别注意.,【补偿训练】在平行四边形ABCD中， 已知 则 =( ),【解析】选C.如图，在三角形ABE中，有 其中 所以 故选C.,【规范解答】平面向量基本定理的综合应用 【典例】(12分)在ABC中，AMAB=13,ANAC=14,BN 与CM交于点E， 用a,b表示,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升 失分点1：未能设出处的比例关系，从而无法表示出 则会导致不得分. 失分点2：处 的表达式不准确导致,t值求错，考试时最多得5分. 失分点3：未能根据向量表示的唯一性列出处的方程组，导致无法求出参数,t的值，考试时最多得7分.,【悟题】提措施，导方向 1.强化待定系数法在表示向量中的应用 当图中某些点位置关系不明确时，应先设出系数关系，表示出 向量后再确定系数.如本例中交点E的比例关系未知，需先设出 后再求. 2.向量表示的唯一性是确定参数的重要方法 当a,b不共线时，若xa+yb=ma+nb,则x=m,y=n，常用来确定相 关参数的值，如本例中利用 表示的唯一性求,t的值.,【类题试解】已知三角形OBC中，点A是 BC的中点，D是OB上的点，且OD=2DB， DC和OA交于点E，设 (1)用a,b表示向量 (2)若 求实数的值.,【解析】(1)因为A是BC的中点，所以 因为 所以 所以 所以,(2)设 因为 又因为 因为 =2a-b,故 解得,
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