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第八节 抛 物 线,【知识梳理】 1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内. (2)与一个定点F和一条定直线l距离_. (3)l不经过点F.,相等,2.抛物线的标准方程与几何性质,y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,O(0,0),y=0(x轴),x=0(y轴),x0,yR,x0,yR,y0,xR,y0,xR,【特别提醒】 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则 (1)x1x2= ,y1y2=-p2.,(2)弦长|AB|=x1+x2+p= (为弦AB的倾斜角). (3) 为定值 . (4)以AB为直径的圆与准线相切. (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-1P67练习T3(1)改编)设抛物线y2=8x上一点P 到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是 .,【解析】如图所示,抛物线的准线l的方程为x=-2,F是 抛物线的焦点,过点P作PAy轴,垂足是A,延长PA交直 线l于点B,则|AB|=2,由于点P到y轴的距离为4,则点P到 准线l的距离|PB|=4+2=6,所以点P到焦点的距离|PF|= |PB|=6. 答案:6,2.(选修2-1P72练习T1(1)改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为 .,【解析】很明显点P在第三象限,所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上. 当焦点在x轴负半轴上时,设方程为y2=-2px(p0),把点P(-2,-4)的坐标代入得(-4)2=-2p(-2), 解得p=4,此时抛物线的标准方程为y2=-8x;,当焦点在y轴负半轴上时,设方程为x2=-2py(p0),把点 P(-2,-4)的坐标代入得(-2)2=-2p(-4),解得p= ,此 时抛物线的标准方程为x2=-y. 综上可知,抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=-y. 答案:y2=-8x或x2=-y,感悟考题 试一试 3.(2016贵阳模拟)已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是 ( ),【解析】选B.由焦点弦长公式|AB|= ,得 =12, 所以sin= ,所以= 或 .,4.(2014全国卷)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准 线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若 则|QF|= ( ) A. B.3 C. D.2,【解析】选B.如图所示, 因为 所以 过点Q作QMl,垂足为M,则MQx轴, 所以 所以|MQ|=3,由抛物线定义知|QF|=|QM|=3.,5.(2015陕西高考)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过 双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= . 【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(- ,0),故抛物 线y2=2px的准线为x=- ,所以 = ,所以p=2 . 答案:2,考向一 抛物线的定义及其应用 【典例1】(1)(2014全国卷)已知抛物线C:y2=x的 焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|= x0,则x0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8,(2)(2015浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是 ( ),【解题导引】(1)由y2=x可知,抛物线的准线方程为x= - ,从而可得A到抛物线准线的距离为x0+ ,然后利 用抛物线的定义即可求得x0的值. (2)结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这 一性质以及抛物线的定义即可求解.,【规范解答】(1)选A.根据抛物线的定义可知|AF|=x0+ = x0,解得x0=1. (2)选A.,【母题变式】 1.在本例(1)中,若A点在x轴上方,且AF的延长线交抛物线于点B,求B点的坐标.,【解析】由例题可知A(1,1), 所以kAF= 所以直线AF的方程为y= 即4x-3y-1=0.,由 即(4y+1)(y-1)=0, 所以y=- 或y=1. 又因为A在x轴上方,所以B在x轴下方,即,2.在本例(1)中,若A点在x轴上方,且AF的延长线交抛物线于点B,求AOB的面积.,【解析】SAOB=SAOF+SBOF = |OF|yA|+ |OF|yB|,【规律方法】 1.与抛物线定义有关的两个线段 抛物线的焦半径、焦点弦.,2.抛物线定义的作用 将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离;将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离.,【变式训练】已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=4x上的两个动点,且|AB|=8,则x1+x2的最小值是 ( ) A.4 B.6 C.8 D.101,【解析】选B.设抛物线的焦点为F,则|AF|+|BF|AB|,由抛物线的定义,可得x1+x2+p|AB|,因为|AB|=8,p=2,所以x1+x26,所以x1+x2的最小值是6.,【加固训练】 1.(2016昆明模拟)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A,B两点,那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为 ( ) A.相离 B.相切 C.相交但不经过圆心 D.相交且经过圆心,【解析】选B.设圆心为M,过点A,B,M作准线l的垂线,垂 足分别为A1,B1,M1,则|MM1|= (|AA1|+|BB1|).由抛物线 定义可知|BF|=|BB1|,|AF|=|AA1|,所以|AB|=|BB1|+ |AA1|,|MM1|= |AB|,即圆心M到准线的距离等于圆的 半径,故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.,2.(2016忻州模拟)已知P为抛物线y2=4x上一个动点, Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与 点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 .,【解析】由题意知,圆x2+(y-4)2=1的圆心为C(0,4),半 径为1,抛物线的焦点为F(1,0),根据抛物线的定义,点P 到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点 Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和,因此|PQ|+ |PF|PC|+|PF|-1|CF|-1= -1. 答案: -1,3.(2016厦门模拟)已知点P在抛物线y2=4x上,且点P 到y轴的距离与其到焦点的距离之比为 ,则点P到x轴 的距离为 .,【解析】设点P的坐标为(xP,yP),抛物线y2=4x的准线方 程为x=-1,根据抛物线的定义,点P到焦点的距离等于点 P到准线的距离,故 解得xP=1,所以 yP2=4, 所以|yP|=2. 答案:2,考向二 抛物线的标准方程及其性质 【典例2】(1)(2016泉州模拟)如图,过抛物线y2=2px (p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C, 若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为 ( ),(2)若双曲线C:2x2-y2=m(m0)与抛物线y2=16x的准线交 于A,B两点,且|AB|=4 ,则m的值是 .,【解题导引】(1)分别过点A,B作准线的垂线,分别交准 线于点E,D,设|BF|=a,根据抛物线定义可知|BD|=a,进 而推断出BCD的值,在直角三角形中求得a,利用比例 线段的性质可求得p,则抛物线方程可得. (2)求出y2=16x的准线l:x=-4,由C与抛物线y2=16x的准 线交于A,B两点,且|AB|=4 ,即可求出m的值.,【规范解答】(1)选B.如图,分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a, 由定义得:|BD|=a,故BCD=30, 在直角三角形ACE中,因为|AF|=3,|AC|=3+3a, 所以2|AE|=|AC|, 所以3+3a=6,从而得a=1,因为BDFG,所以 求得p= , 因此抛物线方程为y2=3x.,(2)y2=16x的准线l:x=-4,因为C与抛物线y2=16x的准线 l:x=-4交于A,B两点,|AB|=4 ,所以A(-4,2 ), B(-4,-2 ),将A点坐标代入双曲线方程得2(-4)2- (2 )2=m,所以m=20. 答案:20,【规律方法】 1.求抛物线的标准方程的方法 (1)先定位:根据焦点或准线的位置. (2)再定形:即根据条件求p.,2.抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程. (2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质以形助数.,【变式训练】(2016北京模拟)已知抛物线y2=2px(p 0)的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,垂足为 A,如果APF是边长为4的正三角形,那么此抛物线的焦 点坐标为 ,点P的横坐标xP= .,【解析】如图所示,设 则|PA|= =4. 又在RtAMF中,AFM=FAP=60, 故tanAFM= 联立式,得p=2,|y0|=2 . 故焦点坐标为(1,0),点P的横坐标为xp= =3. 答案:(1,0) 3,【加固训练】 1.(2016安庆模拟)抛物线y=- x2的焦点坐标是 ( ) A.(0,-1) B.(0,1) C.(1,0) D.(-1,0),【解析】选A.抛物线y=- x2的标准方程为x2=-4y,开 口向下,p=2, =1,故焦点为(0,-1).,2.已知m,n,m+n成等差数列,m,n,mn成等比数列,则抛物线mx2=ny的焦点坐标是 ( ),【解析】选A.由题意知,2n=m+m+n且n2=mmn,解得 m=2,n=4,故抛物线为x2=2y,其焦点坐标为,3.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为 ( ),【解析】选C.由已知,得准线方程为x=-2,所以F的坐标 为(2,0).又A(-2,3),所以直线AF的斜率为k=,考向三 直线与抛物线的综合问题 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:直线与抛物线的交点问题 【典例3】(2015浙江高考)如图,已知抛物线C1:y= x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O 的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.,(1)求点A,B的坐标. (2)求PAB的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.,【解题导引】(1)设出直线PA的方程,通过联立方程,判别式为零,得到点A的坐标;根据圆的性质,利用点关于直线对称,得到点B的坐标;(2)利用两点间距离公式及点到直线的距离公式,得到三角形的底边长与底边上的高,由此计算三角形的面积.,【规范解答】(1)由题意可知,直线PA的斜率存在,故可 设直线PA的方程为y=k(x-t),所以 消去y 整理得:x2-4kx+4kt=0. 因为直线PA与抛物线相切,所以=16k2-16kt=0,解得 k=t. 所以x=2t,即点A(2t,t2).,设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知, 点B,O关于直线PD对称, 故有 解得 即点,(2)由(1)知,|AP|= 直线AP的方程为tx-y-t2=0, 所以点B到直线PA的距离为d= 所以PAB的面积S=,命题方向2:与抛物线弦的中点有关的问题 【典例4】(2016郑州模拟)已知抛物线C:y=mx2(m0),焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.,(1)求抛物线C的焦点坐标. (2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值. (3)是否存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.,【解题导引】(1)将抛物线方程化成标准形式,直接求 出焦点坐标.(2)利用抛物线的定义求解.(3)只需证明 =0即可.,【规范解答】(1)因为抛物线C:x2= 所以它的焦点 (2)因为|RF|=yR+ 所以2+ =3,得m= .,(3)存在,联立方程 消去y得mx2-2x-2=0, 依题意,有=(-2)2-4m(-2)0恒成立.,设A(x1,mx12),B(x2,mx22), 则 因为P是线段AB的中点, 所以 即 所以,得 若存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形, 则 =0, 即,结合(*)化简得 =0, 即2m2-3m-2=0, 所以m=2或m=- , 而2(0,+),- (0,+). 所以存在实数m=2,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.,【技法感悟】 1.直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组. (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.,2.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.,(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法. 提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.,【题组通关】 1.(2016长沙模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点弦 AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则 的值 一定等于 ( ) A.-4 B.4 C.p2 D.-p2,【解析】选A.若焦点弦ABx轴,则x1=x2= ,则 x1x2= ; 若焦点弦AB不垂直于x轴,可设AB:y= 联立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+ =0, 则x1x2= .则y1y2=-p2.故 =-4.,2.(2016钦州模拟)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛 物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|= ( ) A.6 B.8 C.9 D.10,【解析】选B.由题意,p=2,故抛物线的准线方程是x=-1, 因为过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,所以|AB|=x1+x2+2,又x1+x2=6,所以|AB|= x1+x2+2=8.,3.(2016珠海模拟)已知抛物线C:y=x2-2,过原点的动 直线l交抛物线C于A,B两点,P是AB的中点,设动点P(x,y), 则4x-y的最大值是 ( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4,【解析】选A.设直线l的方程为y=kx,与抛物线C的方程 y=x2-2联立,消去y,得x2-kx-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=k,所以x= ,y= ,所以4x-y=2k- =- (k -2)2+2.故当k=2时,4x-y取最大值2.,4.(2016衡水模拟)如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.,(1)写出该抛物线的方程及其准线方程. (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.,【解析】(1)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px(p0). 因为点P(1,2)在抛物线上,所以22=2p1,解得p=2. 故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.,(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB, 则kPA= (x11),kPB= (x21), 因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补, 所以kPA=-kPB.,由A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y12=4x1, y22=4x2, 所以,所以y1+2=-(y2+2). 所以y1+y2=-4. 由-得,y12-y22=4(x1-x2), 所以kAB= =-1(x1x2).,
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