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第二课时 直线与椭圆的综合问题,考向一 椭圆与向量的综合问题 【典例1】(1)(2016安庆模拟)P为椭圆 =1上 任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则 的取值范围是 ( ) A.0,15 B.5,15 C.5,21 D.(5,21),(2)已知椭圆C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,椭 圆C上的点A满足AF2F1F2,若点P是椭圆C上的动点,则 的最大值为 ( ),【解题导引】(1)利用 化简可知 通过a-c| |a+c,计算即得结论. (2)由已知求出点A的坐标并设出点P的坐标,然后将 用坐标表示,根据点P坐标的范围即可求出 的最大值.,【规范解答】(1)选C. 因为a-c| |a+c,即3| |5, 所以 的范围是5,21.,(2)选B.由椭圆方程知c= =1, 所以F1(-1,0),F2(1,0). 因为椭圆C上点A满足AF2F1F2,则可设A(1,y0),代入椭 圆方程可得 ,所以y0= .,设P(x1,y1),则 =(x1+1,y1), =(0,y0), 所以 =y1y0. 因为点P是椭圆C上的动点, 所以- y1 , 的最大值为,【规律方法】解决椭圆中与向量有关问题的方法 (1)设出动点坐标,求出已知点的坐标. (2)写出与题设有关的向量. (3)利用向量的有关知识解决与椭圆、直线有关的问题. (4)将向量问题转化为实际问题.,【变式训练】 1.(2016福州模拟)椭圆 =1的左、右焦点分别 为F1,F2,P是椭圆上任一点,则 的取值范围是 ( ) A.(0,4 B.(0,3 C.3,4) D.3,4,【解析】选D.因为椭圆 =1的左、右焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),设P(2cos, sin),R.所 以 =(-1-2cos,- sin), =(1-2cos, - sin),所以,因为R,cos20,1,4-cos23,4, 所以 的取值范围是3,4.,2.(2016莆田模拟)如图,点A,B分别是椭圆E: =1(ab0)的左、右顶点,圆B:(x-2)2+y2=9经过椭圆E 的左焦点F1. (1)求椭圆E的方程. (2)过点A作直线l与y轴交于点Q,与椭圆E交于点P(异于 A).求 的取值范围.,【解析】(1)因为以椭圆E的右顶点B为圆心的圆B方程 为:(x-2)2+y2=9,所以圆B的圆心坐标的横坐标即为a的 值,所以a=2,在圆B:(x-2)2+y2=9中令y=0,得F1(-1,0), 所以b2=4-1=3,所以椭圆E的方程为 =1.,(2)当直线l为x轴时,显然有 =0; 设直线AP:x=ty-2,并与椭圆E的方程联立, 消去x可得:(4+3t2)y2-12ty=0, 由椭圆E的方程可知:A(-2,0),由根与系数的关系可得: 在直线AP:x=ty-2中令x=0,得yQ= , 所以 综上所述, 的取值范围为0,2).,【加固训练】 1.已知椭圆的右焦点F(m,0),左、右准线分别为l1:x= -m-1,l2:x=m+1,且l1,l2分别与直线y=x相交于A,B两点. (1)若离心率为 ,求椭圆的方程. (2)当 7时,求椭圆离心率的取值范围.,【解析】(1)由已知,得c=m, =m+1, 从而a2=m(m+1),b2=m. 由e= ,得b=c,从而m=1.故a= ,b=1, 故所求椭圆方程为 +y2=1.,(2)易得A(-m-1,-m-1),B(m+1,m+1), 从而 =(2m+1,m+1), =(1,m+1), 故 =2m+1+(m+1)2=m2+4m+27, 得0m1.,由此离心率e= 故所求的离心率取值范围为,2.已知椭圆 =1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、 右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若F1AB=90,求椭圆的离心率. (2)若 求椭圆的方程.,【解析】(1)若F1AB=90,则AOF2为等腰直角三角 形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a= c,e=,(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c= , 设B(x,y).由 得(c,-b)=2(x-c,y),解得 即 将B点坐标代入 =1,得 =1,即 =1,解得a2=3c2.又由,=(-c,-b) 得b2-c2=1,即有a2-2c2=1.由 解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为,考向二 直线与椭圆中的参数问题 【典例2】(2014全国卷)设F1,F2 分别是椭圆C: =1(ab0)的 左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂 直,直线MF1与C的另一个交点为N.,(1)若直线MN的斜率为 ,求C的离心率. (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.,【解题导引】(1)由斜率条件可得到a,b,c的关系式,然 后由b2=a2-c2消去b2,再“两边同除以a2”,即得到关于 离心率e的二次方程,由此解出离心率. (2)利用“MF2y轴”及“截距为2”,可得yM= =4, 然后求出M,N点坐标,代入椭圆方程即可求出a,b的值.,【规范解答】(1)因为由题知, 所以 又a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0, 解得e= .所以C的离心率为 .,(2)由三角形中位线知识可知,|MF2|=22,即 =4. 设|F1N|=m,由题可知|MF1|=4m.由两直角三角形相似, 可得M,N两点横坐标分别为c,- c.所以M(c,4), 代入椭圆方程,得 两式相减 得: 再结合 =4,及a2=b2+c2,可求得:a=7,b=2,【规律方法】确定直线与椭圆中有关参数的方法 1.依据题设中的条件,建立与参数有关的方程. 2.解方程可求得参数的值(注意椭圆中的隐含条件a2=b2+c2).,【变式训练】如图,F1,F2分别是椭圆C: =1(ab0)的左、右焦点,A是 椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另 一个交点,F1AF2=60. (1)求椭圆C的离心率. (2)已知AF1B的面积为40 ,求a,b的值.,【解析】(1)F1AF2=60a=2ce= (2)设|BF2|=m,则|BF1|=2a-m,在三角形BF1F2中, |BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|F1F2|cos 120 (2a-m)2=m2+a2+amm= a. AF1B的面积S= a=10,所以c=5,b=5 .,【加固训练】 1.(2016呼和浩特模拟)已知椭圆的两焦点为F1(- , 0),F2( ,0),离心率e= . (1)求此椭圆的方程. (2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ| 等于椭圆的短轴长,求m的值.,【解析】(1)设椭圆方程为 =1(ab0),则c= , 所以a=2,b=1, 所求椭圆方程为 +y2=1.,(2)由 消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0, 则0,得m25(*). 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2= x1x2= y1-y2=x1-x2,|PQ|= =2.解得m= 满足(*),所以m= .,2.(2016徐州模拟)已知椭圆E: =1过点 且右焦点为F(1,0),右顶点为A.过点F的弦为BC.直线BA, 直线CA分别交直线l:x=m(m2)于P,Q两点. (1)求椭圆方程. (2)若FPFQ,求m的值.,【解析】(1)由 =1,a2-b2=1, 解得a2=4,b2=3, 所以椭圆方程为 =1.,(2)当直线BC的斜率存在且不为0时,设B(x0,y0),则BC: y= (x-1),与椭圆E: =1 联立组成方程组,解得 或 所以,显然kAB=kAP,kAC=kAQ,所以kAPkAQ= 设Q(m,y1),kFQ= 同理kFP= kAP. 所以kFPkFQ= =-1, 又m2,所以 所以m=4.,当BC的斜率不存在时,BC的方程为x=1. 令 AC的方程为: 即3x+2y-6=0, AB的方程为: 即3x-2y-6=0,又FQFP,所以kFQkFP= =-1, 解上式得m= (舍)或m=4, 综上可知:m=4.,考向三 直线与椭圆的位置关系 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质 【典例3】(2015安徽高考)设椭圆E的方程为 =1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B 的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM的斜率为,(1)求E的离心率e. (2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于 直线AB的对称点的纵坐标为 ,求E的方程.,【解题导引】(1)可先求出M点的坐标,利用直线OM的斜率,即可得出关于a,b的等式,再利用椭圆中a,b,c之间的关系求离心率. (2)利用(1)的结果,椭圆中a,b,c都可利用b来表示,充分利用题设条件,得出关于b的方程,解方程即可求得b值,进而得出椭圆方程.,【解析】(1)由题意可知点M的坐标是 又kOM= ,所以 进而得a= b, 故 e=,(2)直线AB的方程为 =1, 点N的坐标为 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为 则NS的中 点T的坐标为 又点T在直线AB上,且 kNSkAB=-1,从而有 b=3, 所以a=3 ,故椭圆的方程为 =1.,命题方向2:由直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的 问题 【典例4】(2015江苏高考改编)如图,在平面直角坐 标系xOy中,已知椭圆 =1(ab0)的离心率为 ,且右焦点F到直线l:x= 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程.,(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若|PC|=2|AB|,求直线AB的方程.,【解题导引】(1)求椭圆标准方程,只需列两个独立条 件即可:一是离心率为 ,二是右焦点F到左准线l的距 离为3,解方程组即得. (2)本题关键就是根据|PC|=2|AB|列出关于斜率的等量 关系.,【规范解答】(1)由题意,得 且c+ =3, 解得a= ,c=1,则b=1, 所以椭圆的标准方程为 +y2=1.,(2)当ABx轴时,AB= ,又CP=3,不合题意. 当AB与x轴不垂直时, 设直线AB的方程为y=k(x-1), A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程, 得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2= C的坐标为 且|AB|=,若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不 合题意.从而k0,故直线PC的方程为: 则P点的坐标为 从而|PC|=,因为|PC|=2|AB|, 所以 解得:k=1. 此时AB的方程为y=x-1或y=-x+1.,【母题变式】 1.若将条件“|PC|=2|AB|”改为“|PC|= |AB|”, 结果如何?,【解析】由例题可知:|AB|= |PC|= 又因为|PC|= |AB|,即 解上式得:k= , 此时AB的方程为y= x- 或y=- x+ .,2.若将条件“|PC|=2|AB|”改为“|PC|= |AB|”, 结果如何?,【解析】由例题可知:|AB|= |PC|= 又因为|PC|= |AB|, 即 化简上式得:3k4+1=0,显然上式不成立,因此满足条件的直线AB不存在.,【技法感悟】 1.由直线与椭圆位置关系解决离心率问题的思路 由题中条件寻找a,b,c间的关系式(等式或不等式),然 后借助a2=b2+c2转化为 的方程或不等式即可.,2.直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法,【题组通关】 1.(2016福州模拟)椭圆的焦点为F1,F2,过F1的最短弦 PQ的长为10,PF2Q的周长为36,则此椭圆的离心率为 ( ),【解析】选C.PQ为过F1垂直于x轴的弦, 则 PF2Q的周长为36. 所以4a=36,a=9. 由已知 =5,即 =5. 又a=9,解得c=6, 解得 即e= .,2.(2016宝鸡模拟)已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为 ( ),【解析】选C.易知该弦所在直线的斜率存在.由题意可设y-1=k(x-1),所以y=kx+1-k. 代入椭圆方程,得x2+2(kx+1-k)2=4. 所以(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-4=0.,由x1+x2= =2,得k=- ,x1x2= . 所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= 所以|AB|=,3.(2016郑州模拟)如图所示,内外两个椭圆的离心率 相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,BD,设内层 椭圆方程为 =1(ab0),若直线AC与BD的斜率之 积为- ,则椭圆的离心率为 ( ),【解析】选C.设外层椭圆方程为 =1(ab 0,m1),由题意设切线AC的方程为y=k1(x-ma),切线BD 的方程为y=k2x+mb, 则由 消去y, 得,因为1= =0,整理, 得 由 消去y,得 =0,因为2= =0,整理,得,所以 因为k1k2=- ,所以 所以e= .,
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