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第九节 圆锥曲线的综合问题,最新考纲展示 1掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法 2.了解圆锥曲线的简单应用 3.理解数形结合的思想,一、直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程,1当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C ； 0直线与圆锥曲线C ； 0直线与圆锥曲线C 2当a0，b0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行,相交,相切,无公共点,二、圆锥曲线的弦长 1圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长 2圆锥曲线的弦长的计算,设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| (抛物线的焦点弦长|AB|x1x2p ，为弦AB所在直线的倾斜角),1直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点 2直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点,一、直线与圆锥曲线的交点个数 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”),(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点( ) (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点( ) 答案：(1) (2) (3),A1条 B2条 C3条 D4条 解析：结合图形(图略)知，过P(4,4)与双曲线只有一个公共点的直线，有两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，共4条 答案：D,答案：(1) (2),解析：由题意知(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)|AB|AF2|BF2|2a2a，又由a5，可得|AB|(|BF2|AF2|)20，即|AB|8. 答案：8,考情分析 圆锥曲线中的弦长问题是高考的重点问题，它是解决圆锥曲线综合问题的重要途径和手段常见的题型有： (1)求弦长问题 (2)求中点弦所在直线方程 (3)抛物线中的中点弦问题 (4)利用中点弦解决对称问题,圆锥曲线中的弦长问题(高频研析),角度一 求弦长问题 1(2015年石家庄模拟)已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设点A为直线l：xy20上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P，Q，求APQ面积的最小值及此时点A的坐标,答案：x2y80,角度三 抛物线中中点弦问题 3过点M(2，2p)作抛物线x22py(p0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是_,答案：1或2,答案：0或8,规律方法 (1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长 (2)对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法其解题步骤为： 设点：即设出弦的两端点坐标 代入：即代入圆锥曲线方程 作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开 整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解,考情分析 圆锥曲线中的最值问题一直以来都是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广，且思维含量大归纳起来常见的命题角度有： (1)转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 (2)利用代数式的有界性求最值 (3)利用圆锥曲线的几何性质求最值,圆锥曲线中的最值问题(高频研析),(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标； (2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.,答案：(1)A (2)B,答案：C,规律方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解,圆锥曲线中的范围问题(师生共研),规律方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围,考情分析 与圆锥曲线有关的定点、定值及探索性问题是高考考查的热点问题，一般处在压轴题的位置此类问题思维含量大，综合性强，是考生能否取得高分的一道关键题目,定点、定值及探索性问题(高频研析),角度一 定点问题 1(2014年高考山东卷)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形 (1)求C的方程 (2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E. 证明直线AE过定点，并求出定点坐标 ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由,角度二 定值问题 2. (2014年高考江西卷)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点) (1)证明：动点D在定直线上； (2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2. 证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值,(1)求椭圆C的方程 (2)设经过点M(0,2)作直线AB交椭圆C于A，B两点，求AOB面积的最大值 (3)设椭圆的上顶点为N，是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为PQN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由,规律方法 (1)定点的探索与证明问题： 探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关 (2)求定值问题常见的方法有两种： 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值,(3)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在 当条件和结论不唯一时要分类讨论 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.,
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