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第三节 平面向量的数量积,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)向量的夹角:,AOB,0,180,a,b,=90,(2)平面向量的数量积:,|a|b|cos,|a|cos,|b|cos,|b|cos,(3)数量积的性质: 设a,b都是非零向量,e是单位向量,为a与b(或e)的夹角.则 ea=ae= _. cos=_. ab_.,|a|cos,|a|b|,(4)数量积的运算律: 交换律:ab=ba. 数乘结合律:(a)b= _= _. 分配律:a(b+c)=_.,(ab),a(b),ab+ac,(5)平面向量数量积的坐标表示: 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为,则,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2=0,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)a与b为两非零向量,则ab_. (2)当a与b同向时,ab=|a|b|. 当a与b反向时,ab=-|a|b|, 特别地,aa= _或者|a|=_,0a=_.,ab=0,|a|2,0,(3)平面向量数量积运算的常用公式 (a+b)(a-b)=a2-b2. (a+b)2=a2+2ab+b2. (a-b)2=_.,a2-2ab+b2,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:基底法;坐标法. (2)常用思想:方程思想,数形结合思想,转化与化归思想. (3)记忆口诀:乘积结果为数量,坐标运算是良方. 横纵坐标分别乘,相加求和积充当.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负.( ) (2)若ab=0,则必有ab.( ) (3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若ab0,则向量a,b的夹角为钝角.( ),【解析】(1)正确.由向量投影的定义可知,当两向量夹角为锐角时结果为正,为钝角时结果为负. (2)错误.当a与b至少有一个为0时得不到ab. (3)正确.由数量积与向量线性运算的意义可知,正确. (4)错误.当ab=-|a|b|时,a与b的夹角为. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修4P104例1改编)已知|a|=2,|b|=4,ab=4 ,则a与b的夹 角= . 【解析】因为ab=|a|b|cos, 所以cos= 又因为0180,故=30. 答案:30,(2)(必修4P105例4改编)已知a=(1,2),b=(3,4),若a+kb与a-kb互相垂直,则实数k= . 【解析】由已知a=(1,2),b=(3,4), 若互相垂直,则(a+kb)(a-kb)=0, 即a2-k2b2=0, 即5-25k2=0,即k2= , 所以k= . 答案:,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014新课标全国卷)设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= , 则ab=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 【解题提示】将|a+b|,|a-b|两边平方,联立方程求解ab. 【解析】选A.因为|a+b|= ,|a-b|= ,所以a2+b2+2ab=10, a2+b2-2ab=6,联立方程解得ab=1,故选A.,(2)(2014四川高考)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m= . 【解题提示】先求出c的坐标,再代入向量夹角公式,解方程即可求出m的值.,【解析】由于a=(1,2),b=(4,2), 所以c=ma+b=(m+4,2m+2), 又由于c与a的夹角等于c与b的夹角, 即cos=cos,也就是 即得 解得m=2. 答案:2,(3)(2015青岛模拟)已知|a|=2,向量a与b的夹角是 ,则a在b上 的投影是 . 【解析】a在b上的投影是|a|cos = 答案:-,考点1 平面向量数量积的运算 【典例1】(1)(2015湛江模拟)已知等边三角形ABC的边长为1,设 =a, =b, =c,则ab+bc+ca= . (2)(2015大庆模拟)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动 点.则 的值为 , 的最大值为 .,【解题提示】(1)利用数量积的定义求解.要注意夹角的大小. (2)结合已知条件建系,利用坐标求解.,【规范解答】(1)如图,得a与b,b与c,c与a的夹角都是120, 又|a|=|b|=|c|=1, 所以原式=11cos120+11 cos120+11cos120 答案:-,(2)如图所示,以AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系,设 E(t,0),0t1,则D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0, -1),所以 =1.又因为 =(1,0), 所以 =t1. 答案:1 1,【一题多解】解答本题,你知道还有几种解法? 方法一:选取 作为基底,设 0t1,则 = =0+1=1. =t1. 答案:1 1,方法二:利用几何意义可知 = = =1. 设 则 = =|t|1. 答案:1 1,【易错警示】解答本例题(1)易出现如下错误 在解题过程中,只看到ABC是等边三角形,就误认为a与b,b与c,a与c的夹角均为60从而错解.,【互动探究】本例(2)中,当E是AB的中点时,试求 上的投影. 【解析】方法一:如图,过点E作EFDC, 垂足为F,由投影的定义知, 上的投影是 . 方法二:如图,向量 的夹角是EDC, 所以 上的投影是| |cosEDC=,【规律方法】向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab= |a|b|cos. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1), b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.,【变式训练】已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则ab=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选D.由已知得a(2a-b)=2a2-ab= 2|a|2-ab=25-ab=3+2,故ab=10-5=5.,【加固训练】1.(2013新课标全国卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,则t= . 【解析】由c=ta+(1-t)b得,bc=tab+(1-t)b2=0,整理得t|a|b|cos60+(1-t)|b|2=0,化简得 t+1-t=0,所以t=2. 答案:2,2.(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点, 则 = . 【解析】以A为原点,以AB,AD为x,y轴建系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2), E(1,2)故 =(1,2), =(-2,2). 故 =1(-2)+22=2. 答案:2,考点2 平面向量的垂直与夹角问题 【典例2】(1)(2014山东高考)在ABC中,已知 =tanA,当A= 时,ABC的面积为 . (2)已知向量 与 的夹角为120,且| |=3,| |=2.若 = + ,且 试求实数的值.,【解题提示】(1)由向量数量积的定义得出两边之积后再利用面积公式求面积. (2)利用 作基底,利用已知垂直关系得到的方程求解.,【规范解答】(1)由已知及平面向量数量积的定义可得 所以 所以SABC= 答案:,(2)因为 所以 =0, 即 = 故(-1)32(- )+4-9=0,解得= .,【规律方法】平面向量数量积的两个应用 (1)求夹角大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得 cos= (夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关 角度的问题. (2)确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角, 数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向 量不共线时两向量的夹角为钝角.,【变式训练】若|a|=2,|b|=4且(a+b)a,则a与b的夹角是( ) 【解析】选A.根据题意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)a,则有(a+b)a =0a2+ba=04+ba=0,所以ba=-4,那么可知a与b的夹角的余 弦值为 则a与b的夹角是 .,【加固训练】1.(2013安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|= |a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 . 【解析】由|a|=|a+2b|,设a与b的夹角为,等式两边平方得a2+4ab+4b2=a2ab=-b2,所以cos= 答案:-,2.设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a(a-b),则x= . 【解析】由题知a-b=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2), 又因为a(a-b),所以a(a-b)=0, 所以(x-1)(2x-2)+1(-2)=0,即x2-2x=0, 所以x=0或x=2. 答案:0或2,考点3 平面向量数量积的应用 知考情 利用平面向量数量积求模及范围、求参数的范围或值,是高考考查数量积的一个重要考向,常与三角、平面几何、解析几何等知识相联系.以选择题、填空题为主,是中低档题.,明角度 命题角度1:根据向量数量积求模或模的范围 【典例3】(2014湖南高考)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0), B(0, ),C(3,0),动点D满足| |=1,则| + + |的最大值 是 .,【解题提示】把 拆分为 + ,再利用|a+b|a|+|b|求解. 【解析】 答案:,命题角度2:利用平面向量数量积求参数的值 【典例4】(2014天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120, 点E,F分别在边BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若 则+=( ),【规范解答】选C.方法一:因为BAD=120,所以 因为BE=BC,DF=DC, 所以 因为 =1, 所以 =1, 即2+2-= 同理可得-=- ,+得+= .,方法二:建系如图: 易知A(0,-1),B(- ,0),C(0,1), D( ,0), 由 得E( - ,). 得F( - ,). 故 =(-1) ,+1), =(1-) ,+1), =(-1) ,-1),=(1-) ,-1), 所以 =3(-+-1)+1=1, 即-2+4+4=3. 所以2(+)-= . =3(-u-1+)+-+1 =2(+)-2-2=- , 即+-u= . -得+=,悟技法 根据数量积求模或参数的值(范围)的一般思路 (1)利用数量积求模:通常利用已知找准基底或坐标,利用基底或坐标运算,有时需用化归思想,转化为其他问题求解. (2)利用数量积求参数的值(范围):通常有两种运算法,一是基底法,二是坐标法,找准解题目标,利用已知条件列出方程或方程组求解即可.,通一类 1.(2015昆明模拟)已知ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足 R,若 则=( ),【解析】选A.由题意得 又因为 且| |=| |=2, =60,=2, 所以 即 所以4+2(2-1)+4(1-)= , 解得= .,2.(2013湖南高考)已知a,b是单位向量,ab=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( ),【解析】方法一:选C.条件|c-a-b|=1可以理解成如图的情况 而|a+b|= ,向量c的终点在单位圆上,故|c|的最大值为 +1. 方法二:选C.由题意,得|a|=|b|=1,ab=0, 所以|a+b|= , 因为|c-a-b|=1, 所以|c-a-b|2=c2-2c(a+b)+(a+b)2=1.,设c与a+b的夹角为, 则|c|2-2|c| cos+2=1, 即|c|2+1=2 |c|cos2 |c|,|c|2-2 |c|+10, 解得 -1|c| +1. 故|c|的最大值为 +1.,3.(2013浙江高考)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR. 若e1,e2的夹角为 ,则 的最大值等于 . 【解析】,当x=0时, =0; 当x0时, 令 =t,则 4, 所以 的最大值为2. 答案:2,创新体验4 平面向量数量积中的创新问题 【创新点拨】 1.以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点,此类问题通常以数量积运算为核心,通过数形结合,转化化归等途径,解决与几何有关的问题,或以向量自身为背景,解决有关模、夹角等问题. 2.命题形式常见有新法则、新定义、新背景、新性质、新运算等.,【新题快递】 1.(2014安徽高考)在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b| =1,ab=0,点Q满足 = (a+b).曲线C=P| =acos+bsin, 02,区域=P|0r| |R,rR.若C为两段分离 的曲线,则( ) A.1rR3 B.1r3R C.r1R3 D.1r3R,【解题提示】设向量a=(1,0),b=(0,1),利用数形结合判断. 【解析】选A.设a=(1,0),b=(0,1), 则 画出图象如图所示, 因为C为单位圆,区域为圆环,|OQ|=2, 所以1rR3.,2.(2015泉州模拟)对任意两个非零向量 定义 若平 面向量a,b满足|a|b|0,a与b的夹角(0, ),且 都 在集合 |nZ中,则 =( ),【解析】选C.根据题中的向量的新运算及向量的数量积,可知 因为(0, ),所以 cos1.,又因为|a|b|0, 所以0 1,所以0 cos1, 即 (0,1).又 所以 = , 由得, =cos2( ,1), 所以 ( )1, 所以1 2,所以 = .,3.(2015潍坊模拟)定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令ab=mq-np,下面说法错误的是( ) A.若a与b共线,则ab=0 B.ab=ba C.对任意的R,有(a)b=(ab) D.(ab)2+(ab)2=a2b2,【解析】选B.对于A,由a与b共线,得mq-np=0,即ab=0,故A正确; 对于B,由新定义知,ab=mq-np,而ba=np-mq,所以abba,故B 错误; 对于C,(a)b=(m,n)(p,q)=mq-np=(mq-np)=(ab), 故C正确; 对于D,(ab)2+(ab)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2= (m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确.,【备考指导】 1.准确转化:解决数量积中创新问题时,一定要读懂题目的本质含义.紧扣题目所给条件,结合题目要求恰当转化,切忌同已有的概念或定义混淆. 2.方法选取:对于创新问题,要恰当选取解题方法,如数形结合,等价转化,特殊值,逐一排除等方法,并结合数量积性质求解.,
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