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第2节 用样本估计总体,知识链条完善,考点专项突破,解题规范夯实,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.频率分布直方图提供了样本数据的哪些信息? 提示:各组数据的频率. 2.茎叶图提供了样本数据的哪些信息? 提示:全部的原始数据.,知识梳理,1.作频率分布直方图的步骤,2.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ,就得频率分布折线图. (2)总体密度曲线:随着 的增加,作图时所分的组数增加, .减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.,中点,样本容量,组距,3.茎叶图,【重要结论】 1.频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1,纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果. 2.在频率分布直方图中,各组的中点值乘以各组的频率之和即为样本数组平均值的估计值. 3.在频率分布直方图中,垂直于横轴的直线如果把各个小矩形的面积等分,则其对应的数据即为中位数的估计值.,夯基自测,解析:由频率分布直方图的性质,可设中间一组的频率为x,则x+4x=1,所以x=0.2,故中间一组的频数为1600.2=32.,A,2.(2016吉林省实验中学二模)下列说法中,正确的是( ) (A)数据5,4,4,3,5,2的众数是4 (B)一组数据的标准差是这组数据的方差的平方 (C)数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半 (D)频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数,C,3.随机抽取某中学甲、乙两班各6名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图,则甲班样本数据的众数、中位数和乙班样本数据的平均数、方差分别是 .,4.农场种植的甲乙两种水稻,在面积相等的两块稻田中连续6年的年平均产量如下(单位:500 g),则甲乙两种水稻平均产量的标准差分别是 .,解析:平均值都是900, 甲的标准差约等于23.8, 乙的标准差约等于41.6. 答案:23.8,41.6,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,频率分布直方图,【例1】 (2015高考湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间0.3,0.9内,其频率分布直方图如图所示.,(1)直方图中的a= ; (2)在这些购物者中,消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为 . 解析:(1)0.11.5+0.12.5+0.1a+0.12.0+0.10.8+0.10.2=1,解得a=3. (2)区间0.5,0.9内的频率为1-0.11.5-0.12.5=0.6,则该区间内购物者的人数为10 0000.6=6 000. 答案:(1)3 (2)6 000,反思归纳 (1)纵轴上的数据是频率除以组距; (2)各组的频率之和等于1; (3)各组的频率等于各组的频数除以样本容量.,【即时训练】 某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是96,106,样本数据分组为96,98),98,100),100,102), 102,104),104,106,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ) (A)90 (B)75 (C)60 (D)45,考点二,茎叶图,【例2】 (1)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论: 甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温; 甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温; 甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差; 甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) (A) (B) (C) (D),答案:(1)B,(2)某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示,则这组数据的中位数是 ;众数是 .,解析：(2)由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来,处在中间位置的一个(或是最中间两个数的平均数),故从茎叶图可以看出中位数是23;而众数是样本数据中出现次数最多的数,故众数也是23.,答案:(2)23 23,反思归纳 (1)茎叶图保留了全部的样本数据;(2)从茎叶图上可以发现样本数据的分散与集中程度,从而对样本数据的平均值和方差作出定性判断.,【即时训练】 (1)(2016合肥一中月考)某中学从甲、乙两个艺术班中各选出7名学生参加市级才艺比赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的众数是85,乙班学生成绩的中位数是83,则x+y的值为( ) (A)6 (B)8 (C)9 (D)11,解析:(1)由茎叶图可知,茎为8时,甲班学生成绩对应数据只能是80, 80+x,85,因为甲班学生成绩众数是85,所以85出现的次数最多,可知x=5.由茎叶图可知,乙班学生成绩为76,81,81,80+y,91,91,96,由乙班学生成绩的中位数是83,可知y=3.所以x+y=8.故选B.,用样本估计总体,考点三,【例3】 (1)某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为121,用分层抽样方法从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.,答案:(1)1 013,(2)(2015云南昆明二模)在一次区统考中,为了解各学科的成绩情况,从所有考生中随机抽出20位考生的成绩进行统计分析,其中数学学科的频率分布直方图如图所示,据此估计,在本次考试中数学成绩的方差为 .(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),解析：(2)考试成绩的平均值为550.1+650.2+750.35+850.3 +950.05=75, 考试成绩的方差为(55-75)20.1+(65-75)20.2+(75-75)20.35 +(85-75)20.3+(95-75)20.05=110.,答案:(2)110,反思归纳 (1)计算平均值和方差,只要按照公式计算即可; (2)如果数据x1,x2,xn在样本中各自出现的频率分别为p1,p2,pn,则这个样本数据的平均数是=x1p1+x2p2+xnpn,在频率分布直方图中,xi通常取其所在组的中间值.,答案:(1)11,(2)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如表:,则以上两组数据的方差中较小的一个为s2= .,备选例题,【例1】 某纺织厂订购一批棉花,其各种长度的纤维所占的比例如表 所示:,(1)请估计这批棉花纤维的平均长度与方差;,解:(1)由题知,这批棉花纤维长度的样本平均值为30.25+50.4 +60.35=4.85,棉花纤维长度的方差为(3-4.85)20.25+(5-4.85)2 0.4+(6-4.85)20.35=1.327 5.由此估计这批棉花纤维的平均长度为4.85,方差为1.327 5.,(2)如果规定这批棉花纤维的平均长度为4.90,方差不超过1.200,两者允许误差均不超过0.10视为合格产品.请你估计这批棉花的质量是否、合格?,解：(2)棉花纤维长度的平均值达到标准,而方差超过标准,可以认为这批产品为不合格.,【例2】 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是0,100,样本数据分组为0,20),20,40),40,60),60,80),80,100.,(1)求直方图中x的值; (2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若该学校有600名新生,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿; (3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值. 解:(1)由直方图可得20x+0.02520+0.006 520+0.003220=1,所以x=0.012 5. (2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003220=0.12,因为6000.12=72(名),所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. (3)由题可知 0.012 52010+0.0252030+0.006 52050+0.0032070+0.0032090 =20(0.012 510+0.02530+0.006 550+0.00370+0.00390) =33.6(分钟). 故该校新生上学所需时间的平均值为33.6分钟.,解题规范夯实 把典型问题的解决程序化,统计图表的综合问题 【典例】 (2014高考新课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:,(1)作出这些数据的频率分布直方图;,(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?,(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68.10分 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.12分,
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