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9.5 椭圆,考纲要求:1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.理解数形结合的思想. 3.了解椭圆的简单应用.,1.椭圆的概念 (1) 椭圆的定义:我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距. (2)对椭圆定义的拓展:集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数: 若ac,则M点为椭圆上的点; 若a=c,则M点为线段F1F2上的点; 若ac,则集合P为空集.,2.椭圆的标准方程和几何性质,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( ) (2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形. ( ) (3)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( ) (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( ) (5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆. ( ),1,2,3,4,5,2.若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为( ),答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,4.若方程 表示椭圆,则k的取值范围是 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.已知点P是椭圆 上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.要熟练掌握椭圆中参数a,b,c的内在关系及椭圆的基本性质. 2.理解离心率的大小范围,并能根据离心率的变化来判断椭圆的扁圆程度. 3.椭圆中的焦点三角形是常研究对象,解决此类问题要充分运用椭圆的定义、三角形的有关知识,对于其面积公式要熟记,以避免计算量太大而出错.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1椭圆的定义及其标准方程 例1(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F( ,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)已知F1,F2是椭圆C: (ab0)的两个焦点,P为椭圆C上 的一点,且 .若PF1F2的面积为9,则b= .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何灵活运用椭圆的定义解决有关问题? 解题心得:1.在利用椭圆定义解题的时候,一方面要注意到常数2a|F1F2|这个条件;另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系. 2.对于椭圆标准方程的求解,首先要明确参数a,b,c,其次要熟练掌握其内在关系,最后对于椭圆上的已知点要有代入的意识.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)已知F1,F2是椭圆 的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,在AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2椭圆的几何性质 例2设椭圆C: (ab0)的左、右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若ADF1B,则椭圆C的离心率等于 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何理清椭圆的几何性质之间的内在联系? 解题心得:1.求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系. 2.椭圆中的最值往往与椭圆的范围有关联,如-axa,-byb 就是椭圆中的隐含条件,要注意灵活 应用.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 (1)设F1,F2是椭圆E: (ab0)的左、右焦 点,P为直线 上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3直线与椭圆的位置关系 例3已知椭圆C: (ab0)的左焦点为F(-2,0),离心率为 (1)求椭圆C的标准方程; (2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是什么? 解题心得:1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. 2.设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆C1: (ab0)的长轴长是4,椭圆C2: (mn0)短轴长是1,点F1,F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点, (1)求椭圆C1,C2的方程; (2)过F1的直线交椭圆C2于点M,N,求F2MN面积的最大值.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.椭圆中的参数a,b,c三者的关系为a2-b2=c2,这是椭圆中参数关系的核心. 2.求离心率常用两种方法: (1)求得a,c的值,代入公式 即可; (2)列出a,b,c的方程或不等式,根据b2=a2-c2将b消掉,转化为含有a和c的关系,最后转化为关于e的方程或不等式. 3.椭圆中焦点三角形的面积公式为 (其中P为椭圆上任意一点,但不能与F1,F2三点共线,F1,F2是椭圆的左、右焦点,为F1PF2的大小).,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和y2的分母大小. 2.关于离心率的范围问题,一定不要忘记椭圆离心率的固有范围0b0)上点的坐标为P(x,y)时,则|x|a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.,高频小考点高考中椭圆的离心率问题 离心率是椭圆的重要几何性质之一,是高考中常考的问题.此类问题要么直接求出参数a和c,进而通过公式 求离心率;要么先列出参数a,b,c的关系式,再转化为只含有a和c的关系,进而推导出离心率.求解离心率的范围除了借助椭圆本身的属性,有时还要借助不等式知识及椭圆的范围等几何特点. 典例1已知椭圆C1: (ab0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是( ),答案:C,解析:从椭圆上长轴端点P向圆引两条切线PA,PB,则两切线形成的角APB最小. 若椭圆C1上存在点P, 所作圆C2的两条切线互相垂直,则只需APB90,
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