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9.3 圆与圆的方程,考纲要求:掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.,1.圆的几何特征和圆的方程 (1)几何特征:圆上任一点到圆心的距离等于定长,这个定长就是半径. (2)圆的标准方程 圆心为(a,b),半径是r的圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. 圆心在坐标原点时的圆的方程为:x2+y2=r2. (3)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0.,当D2+E2-4F0时,它不表示任何图形.,2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系: (1)drM在圆外,即(x0-a)2+(y0-b)2r2M在圆外; (2)d=rM在圆上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2M在圆上; (3)drM在圆内,即(x0-a)2+(y0-b)2r2M在圆内.,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条. ( ) (2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(tR)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆. ( ) (3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为 ,半径为 的圆. ( ) (4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. ( ) (5)方程x2+Bxy+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是B=0,D2+E2-4F0. ( ),1,2,3,4,5,2.(2015北京,文2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2,答案,解析,1,2,3,4,5,3.点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的半径为( ),答案,解析,1,2,3,4,5,4.圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.求圆的标准方程,一定要抓住圆的圆心和半径两个核心要素. 2.配方法在圆的一般方程化为标准方程时起关键作用,因此要熟练掌握. 3.求轨迹方程时,一定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1求圆的方程 例1(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2,答案:B,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(方法二)题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离 ;圆心是直线x+y=0被这两条平行线所截线段的中点,直线x+y=0与直线x-y=0的交点坐标是(0,0),与直线x-y-4=0的交点坐标是(2,-2),故所求圆的圆心坐标是(1,-1),所求圆C的方程是(x-1)2+(y+1)2=2. (方法三)作为选择题也可以验证解答.圆心在x+y=0上,排除选项C,D,再验证选项A,B中圆心到两直线的距离是否等于半径 即可.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)经过点P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:求圆的方程有哪些常见方法? 解题心得:1.求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程. 2.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的中垂线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .,答案: (x-3)2+y2=2,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,则圆C的方程为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2与圆有关的轨迹问题 例2如图所示,圆O1和圆O2的半径长都等于1,|O1O2|=4.过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,N为切点),使得|PM|= |PN|.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,解题心得:1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等. 2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应有不同:若求轨迹方程,把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程; (2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3与圆有关的最值问题(多维探究) 类型一 斜率型最值问题 例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求 的最大值和最小值.,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,类型二 截距型最值问题 例4在例3条件下求y-x的最大值和最小值.,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,类型三 距离型最值问题 例5在例3条件下求x2+y2的最大值和最小值.,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,类型四 利用对称性求范围 例6设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,类型五 建立目标函数求最值问题 例7设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,解题心得:求解与圆有关的最值问题的两大规律: (1)借助几何性质求最值 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解. (2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.圆心的确定可考虑圆的几何性质: (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任意弦的垂直平分线上; (3)两圆相切时,切点与圆心三点共线. 2.半径的确定常有如下方法: (1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(线)的距离等于半径; (2)若已知弦长、弦心距、半径则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者构成的直角三角形求得.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式. 2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质. 3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.,易错警示轨迹问题易忘记特殊点的检验而致误 典例设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.,
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