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第九章 解析几何,9.1 直线与直线的方程,考纲要求:1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 4.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.,1.直线的倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角,叫作直线l的倾斜角,当直线l和x轴平行时,它的倾斜角为0,倾斜角的范围是0180. (2)直线的斜率 定义:若一条直线的倾斜角为(90),斜率k就是这条直线倾斜角的正切值,即k=tan ,倾斜角是90的直线斜率不存在. 直线的斜率公式:过两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率,2.直线方程的五种形式,3.线段的中点坐标公式:若P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 线段P1P2的中点M(x,y),则,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)直线的倾斜角越大,其斜率越大. ( ) (2)斜率公式 ,不适用于垂直于x轴和平行于x轴的直线. ( ) (3)当直线的斜率不存在时,其倾斜角存在. ( ) (4)直线的斜率为tan ,则其倾斜角为. ( ) (5)若直线在x轴,y轴上的截距分别为m,n,则直线方程可记为 . ( ),1,2,3,4,5,2.如果AC0,且BC0,那么直线Ax+By+C=0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案,解析,1,2,3,4,5,3.直线xsin +y+2=0的倾斜角的取值范围是( ),答案,解析,1,2,3,4,5,4.直线kx+y+2=-k,当k变化时,所有的直线都过定点 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.斜率的求解可以通过过两点的直线的斜率公式,也可以通过求倾斜角的正切值来实现. 2.对于直线的五种形式,一定要理解其结构特点及适用范围. 3.直线的点斜式、斜截式是最常用的形式,点斜式重在突出斜率与定点,斜截式主要体现斜率及在y轴上的截距,都具有非常鲜明的几何特点.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1直线的倾斜角与斜率 例1(1)设直线l的方程为x+ycos +3=0(R),则直线l的倾斜角的范围是( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的倾斜角的范围是 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:直线倾斜角的取值范围和斜率的取值范围的关系有哪些? 解题心得:(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan x的单调性求解,这里特别要注意,正切函数在0,)上并不是单调的;(2)过一定点作直线与已知线段相交,求直线斜率范围时,应注意倾斜角为 时,直线无斜率.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 若直线l的斜率为k,倾斜角为,且 ,则k的取值范围是 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2求直线的方程 例2(1)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍,则该直线的直线方程为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)若经过点A(- ,3),且倾斜角为直线 x+y+1=0的倾斜角的一半,则该直线的方程为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(3)在ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,则MN的方程为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:求直线方程时应注意什么? 解题心得:1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件. 2.涉及截距问题,还要考虑截距为0这一特殊情况.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 (1)已知直线x+a2y-a=0(a0,a是常数),当此直线在x,y轴上的截距和最小时,a的值是( ) A.1 B.2 C. D.0,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的 的直线方程为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3直线方程的综合应用 例3已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:直线方程与函数、方程、不等式相结合的问题常见解法是什么? 解题心得:直线方程综合问题的两大类型及解法:(1)与函数相结合的问题,解决这类问题,一般是利用直线方程中的x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决;(2)与方程、不等式相结合的问题,一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题,不等式的性质、均值不等式等)来解决.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.涉及直线的倾斜角与斜率的转化问题,首先要想到k=tan ,必要时可结合正切函数的图象. 2.求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法,但在特定条件下,应首先考虑下面的设法: (1)已知直线的纵截距,常设方程的斜截式; (2)已知直线的横截距和纵截距,常设方程的截距式(截距均不为0); (3)已知直线的斜率和所过的定点,常设方程的点斜式,但如果只给出一个定点,一定不要遗漏斜率不存在情况; (4)仅知道直线的横截距,常设方程形式:x=my+a(其中a是横截距,m是参数),注意此种设法不包含斜率为0的情况,且在圆锥曲线章节中经常使用.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.斜率公式 (x1x2)与两点的顺序无关,且只能解决两点横坐标不相等所确定直线的斜率问题,若题目中无明确这一信息,要分类讨论,莫忘斜率不存在的情况. 2.设解直线方程时,一定要弄清题目中的信息,不要凭空想,涉及特殊情况最好单独处理,然后再处理常规情况.,易错警示都是漏掉过原点 “惹的祸” 典例求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程. 解:(方法一)(1)当截距为0时,直线l过点(0,0),(2,3),
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