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最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道 其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).,第6讲 双曲线,1双曲线的定义 平面内动点与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线这两个_叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0： (1)若_时，则集合P为双曲线； (2)若ac时，则集合P为_； (3)若_时，则集合P为空集,知 识 梳 理,定点,ac,两条射线,ac,2双曲线的标准方程和几何性质,xR，ya或ya,坐标轴,原点,A1(a，0)，A2(a，0),a2b2,1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 ( ),诊 断 自 测,答案 B,3(2014新课标全国卷)已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 ( ) 答案 A,A焦距相等 B实半轴长相等 C虚半轴长相等 D离心率相等 答案 A,5(人教A选修21P62A6改编)经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_,考点一 双曲线的定义及应用 【例1】 (1)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_ (2)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_,解析 (1)如图所示，设动圆M与圆 C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件， 得|MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|， 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，,其中a1，c3，则b28.,规律方法 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系,A1 B17 C1或17 D以上答案均不对,解析 (1)由双曲线定义|PF1|PF2|8，又|PF1|9，|PF2|1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca6421，|PF2|17. (2)如图所示，设双曲线的右焦点为E， 则E(4，0)由双曲线的定义及标准方 程得|PF|PE|4，则|PF|PA| 4|PE|PA|.由图可得，当A，P，E 三点共线时，(|PE|PA|)min|AE|5，从而|PF|PA|的最小值为9. 答案 (1)B (2)D,考点二 双曲线的标准方程,【训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：,(2)双曲线经过点M(0，12)，M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12. 又2c26，c13，b2c2a225.,考点三 双曲线的几何性质 A3x4y0 B3x5y0 C4x3y0 D5x4y0,所以P在双曲线右支上， 设P(x0，y0)，如图， 又|PF1|PF2|2a，,考点四 直线与双曲线的位置关系,规律方法 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定(2)近几年高考对直线与双曲线的考查降低了要求，一般与双曲线的几何性质结合考查,解析 由根与系数的关系，得abtan ，ab0，则a，b必有一个为0，另一个为tan ，不妨设A(0，0)， B(tan ，tan2)，则直线AB的方程为yxtan .根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为yxtan ，显然直线AB是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点 答案 A,思想方法 1双曲线定义的集合语言：PM|MF1|MF2|2a，02a|F1F2|是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验,易错防范 1在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支 2双曲线中c2a2b2，说明双曲线中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆 3求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错,5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.,
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