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3.2 导数与函数的单调性、 极值、最值,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,4,1.导数与函数的单调性 设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,如果在(a,b)内, ,则f(x)在此区间是增函数;如果在(a,b)内, ,则f(x)在此区间是减函数.,f(x)0,f(x)0,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,4,2.函数的极值与导数 已知函数y=f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如果对x0附近所有点x,都有 ,则称函数f(x)在点x0处取极大值,记作 ,并把x0称为函数f(x)的一个 ;如果在x0附近都有 ,则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作 ,并把x0称为函数f(x)的一个 .,f(x)f(x0),y极大=f(x0),极大值点,f(x)f(x0),y极小=f(x0),极小值点,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,4,3.求可导函数极值的步骤 (1)求导数f(x). (2)求方程 的所有实数根. (3)考察在每个根x0附近,从左到右,导函数f(x)的符号如何变化.如果f(x)的符号由正变负,则f(x0)是 ;如果f(x)的符号由负变正,则f(x0)是 . 如果在f(x)=0的根x=x0的左、右侧,f(x)符号不变,则f(x0) .,f(x)=0,极大值,极小值,不是极值,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,4,4.函数的最值 (1)连续的函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值. (3)求可导函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤. 求f(x)在(a,b)内的 ; 将f(x)的各极值与 进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,f(a),f(b),f(a),f(b),极值,f(a),f(b),2,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则一定有f(x)0. ( ) (2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的. ( ) (3)导数为零的点不一定是极值点. ( ) (4)函数的极大值不一定比极小值大. ( ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. ( ),答案,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.函数y=f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,则下面判断正确的是( ) A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数 B.在区间(1,3)内f(x)是减函数 C.在区间(4,5)内f(x)是增函数 D.在区间(2,3)内f(x)不是单调函数,答案,解析,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3. 已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2,答案,解析,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,解析,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.(2017河北保定二模)已知函数 在x=1处取得极值0,则a+b= .,答案,解析,知识梳理,双基自测,自测点评,1.若函数f(x)在区间(a,b)内递增,则f(x)0;“f(x)0在(a,b)内恒成立”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x),“f(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.如函数y=x3在x=0处的导数为零,但x=0不是函数y=x3的极值点. 3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然地认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.,考点1,考点2,考点3,考向一 讨论函数的单调性或求函数的单调区间 (1)确定a的值; (2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性. 思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求函数的单调区间?,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4. 当x0,故g(x)为增函数; 当-10时,g(x)0,故g(x)为增函数. 综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.,考点1,考点2,考点3,考向二 已知函数的单调性求参数的取值范围 例2已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围. 思考已知函数的单调性求参数的一般思路是什么?,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,(2)因为f(x)在(-,+)内是增函数,所以f(x)=3x2-a0在(-,+)内恒成立,即a3x2对xR恒成立. 因为3x20,所以只需a0,即实数a的取值范围为(-,0.,考点1,考点2,考点3,解题心得1.导数法求函数单调区间的一般流程: 求定义域求导数f(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性. 2.利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)不含参数时,解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间;当f(x)含参数时,需依据参数的取值对不等式解集的影响进行分类讨论.,考点1,考点2,考点3,3.若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到. 4.已知函数的单调性求参数的一般思路是转化为不等式的恒成立问题,即“若函数f(x)单调递增,则f(x)0;若函数f(x)单调递减,则f(x)0”来求解.,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4. 求a,b的值; 求f(x)的单调区间. 若a=1,求函数f(x)的单调区间; 若函数f(x)在区间1,2上为单调函数,求a的取值范围.,考点1,考点2,考点3,(1)解 因为f(x)=xea-x+bx, 所以f(x)=(1-x)ea-x+b. 解得a=2,b=e.由知f(x)=xe2-x+ex. 由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)与1-x+ex-1同号. 令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1. 所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)内单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)内的最小值, 从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+). 故f(x)的单调递增区间为(-,+).,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,例3(1)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1 (2)已知函数f(x)=x-aln x(aR). 当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程; 求函数f(x)的极值. 思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系?,考点1,考点2,考点3,(1)A 解析: 由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1. 因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1. 所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1. 令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: 所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.,考点1,考点2,考点3,()当a0时,f(x)0,函数f(x)在(0,+)内是增函数,函数f(x)无极值; ()当a0时,由f(x)=0,解得x=a. 又当x(0,a)时,f(x)0, 从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.,考点1,考点2,考点3,解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值. 3.利用导数研究函数极值的一般流程:,考点1,考点2,考点3,(1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值.,考点1,考点2,考点3,令f(x)=0,解得x=-1或x=5. 由x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去. 当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,+)内为增函数. 由此可知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5;函数f(x)没有极大值.,考点1,考点2,考点3,(1)讨论f(x)的单调区间; (2)设g(x)=f(x)+2aln x,且g(x)有两个极值点为x1,x2,其中x10,e,求g(x1)-g(x2)的最小值. 思考求函数的最值可划分为哪几步?,考点1,考点2,考点3,令f(x)=0得x2-ax+1=0. 当-2a2时,=a2-40,此时, f(x)0,且f(x)在(0,+)内的任意子区间内都不恒等于0,所以f(x)在定义域(0,+)内单调递增; 当a0时,但x2-ax+1=0的两根x1,x2均为负数,此时,f(x)0在(0,+)内恒成立,所以f(x)在定义域(0,+)内单调递增;,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,解题心得求函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)(2017湖南衡阳三次联考)已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a0,bR)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是( ) A.ln ab-1 B.ln ab-1 C.ln a=b-1 D.以上都不对 (2)(2017河北衡水中学调研)已知a,bR,且exa(x-1)+b对xR恒成立,则ab的最大值是( ),答案,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,(2)令f(x)=ex-a(x-1)-b,则f(x)=ex-a, 若a=0,则由f(x)=ex-b-b0,得b0,此时ab=0; 若a0,知函数单调增,x-,此时f(x)-,不可能恒有f(x)0. 若a0,由f(x)=ex-a=0,得极小值点x=ln a, 由f(ln a)=a-aln a+a-b0,得ba(2-ln a), aba2(2-ln a).令g(a)=a2(2-ln a),考点1,考点2,考点3,1.函数y=f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内的任意子区间内都不恒等于零,则f(x)0f(x)在(a,b)内为增函数;f(x)0f(x)在(a,b)内为减函数. 2.求可导函数极值的步骤: (1)求定义域及f(x);(2)求f(x)=0的根;(3)判定定义域内的根两侧导数的符号;(4)下结论. 3.求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值;然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).,考点1,考点2,考点3,1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行. 2.一个函数在其定义域内的最值是唯一的,可以在区间的端点处取得. 3. 要注意区分求函数的单调性和已知函数的单调区间求参数的问题,处理好当f(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.,答案: C,典例2设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是 ( ) 答案: D 解析: 设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0即为g(x)h(x). 因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1), 而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线. 如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象. 显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.,反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参数的不等式,寻找的方法就是等价转换.若限制条件为函数有唯一的正(负)零点,或存在唯一的x0使得f(x0)0,可根据函数的单调性,利用函数极值的正负满足限制条件,得到关于参数的不等式求解;若限制条件为存在一个x满足等式或不等式,解题思路往往是首先分离参数或含参数的表达式,得到一个等式或不等式,然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式,解出参数的范围.,
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