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第十五章 圆锥曲线与方程 15.1 椭 圆,高考数学,1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1、F2的 距离的和 等于常数(大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆. 符号表示:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|),轨迹是椭圆. 当|PF1|+|PF2|=2a(2a=|F1F2|)时,轨迹是 线段F1F2 ; 当|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)时,轨迹不存在.,知识清单,拓展延伸 1.过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦的长为 . 2.P为椭圆上的点,F1,F2为椭圆的两个焦点,且F1PF2=,则F1PF2的面 积为S= |PF1|PF2|sin . 3.椭圆 + =1(ab0)与 + =k(ab0,k0)有相同的离心率.,求椭圆标准方程的方法 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程 (1)如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为 + =1(a b0); (2)如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为 + =1(a b0); (3)如果椭圆中心在原点,但不确定焦点是在x轴上还是在y轴上,那么方 程可以设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).,方法技巧,2.利用定义及性质求椭圆的标准方程 (1)根据动点满足的等式的几何意义,写出标准方程; (2)建立关于a,b,c,e的方程或方程组; (3)解方程或方程组,得到椭圆的标准方程. 例1 (1)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,且过点A(3,0),并且以坐标 轴为对称轴,求椭圆的标准方程. (2)(2016江苏如东高级中学期中,17)已知圆C:x2+y2+2x=15,M是圆C上的 动点,N(1,0),MN的垂直平分线交CM于点P,求点P的轨迹方程.,解析 (1)设椭圆方程为 + =1(m0,n0,mn), 由题意知 或 解得 或 椭圆的标准方程为 +y2=1或 + =1. (2)由题意知|NP|+|PC|=|MP|+|PC|=4|NC|, 故点P的轨迹是以C、N为焦点,长轴长为4的椭圆. 所以点P的轨迹方程为 + =1.,求椭圆的离心率或离心率的取值范围 考的知识点通常有两类:一是求椭圆的离心率;二是求椭圆离心率的取 值范围. (1)若给定椭圆的方程,则根据椭圆的焦点位置确定a2,b2,求出a,c的值,利 用公式e= 直接求解. (2)若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立a,b,c,e满足的关系式,化 为关于a,c的齐次方程,求出a,c的关系或化为e的方程求解. 例2 (2016江苏常州一中、江阴南菁高中联考,7)已知F是椭圆 + = 1(ab0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PFx轴.若|PF|= |AF|, 则该椭圆的离心率是 .,解析 由题意得,A(a,0),F(-c,0). PFx轴,|PF|= . 因为|PF|= |AF|,所以 = (a+c),即(3a-4c)(a+c)=0,a,c0,3a-4c=0,e = = .,答案,例3 (2015福建文改编,11,5分)已知椭圆E: + =1(ab0)的右焦点F, 短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于两点A,B,若|AF|+|BF|=4, 点M到直线l的距离不小于 ,则椭圆E的离心率的取值范围是 .,解析 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF| =2a=4,所以a=2,不妨令M(0,b),则由点M到直线l的距离不小于 得 ,即b1,所以e2= = = ,又0e1,所以0e , 即椭圆E的离心率的取值范围是0e .,答案 0e,椭圆中的最值问题 解决椭圆中的最值问题主要运用数形结合、函数与方程两大数学思想, 具体方法有以下几种: (1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质求最值或取值范围. (2)利用函数,尤其是二次函数求最值或取值范围. (3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围. (4)利用判别式求最值或取值范围. 例4 (2017镇江高三上学期期末,18)已知椭圆C: + =1的离心率为 ,且点 在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程;,(2)若直线l交椭圆C于P,Q两点,线段PQ的中点为H,O为坐标原点,且OH= 1,求POQ面积的最大值.,解析 (1)由已知得 = , + =1, 易得a2=4,b2=1, 故椭圆C的标准方程是 +y2=1. (2)当PQx轴时,H位于x轴上,且HOPQ, 由OH=1可得PQ= , 此时SPOQ= OHPQ= . 当PQ不垂直于x轴时, 设直线l的方程为y=kx+t,P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,所以 从而H , 由已知OH=1可得t2= (*). 因为PQ2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2 =(1+k2) =(1+k2) , 设坐标原点O到直线l的距离为d,则d2= , 从而 = (1+k2) ,将(*)式代入得, = , 令1+16k2=p, 则 = = = 1, 当且仅当p=3时,取“=”,此时POQ的面积最大,且最大值为1. 1,POQ面积的最大值为1.,巧解直线与椭圆的综合性问题 直线与椭圆的综合性问题的求解思路: (1)设直线方程,在直线的斜率不确定的情况下,要分斜率存在和不存在 两种情况进行讨论,或者将直线方程设成mx+ny+b=0(m2+n20)的形式; (2)联立直线方程与椭圆方程并将其转化为一元二次方程,利用根与系 数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系; (3)一般涉及弦的问题时,要用弦长公式|AB|= |x1-x2|或|AB|= |y1-y2|(k0)来解决.,例5 (2017无锡高三上学期期末,18)已知椭圆 + =1,动直线l与椭圆 交于B,C两点(点B位于第一象限). (1)若点B的坐标为 ,求OBC面积的最大值; (2)设B(x1,y1),C(x2,y2),且3y1+y2=0,求当OBC面积最大时,直线l的方程.,解析 (1)由已知得,直线OB的方程为y= x,即3x-2y=0, 设过点C且平行于OB的直线l的方程为y= x+b. 易知当直线l与椭圆只有一个公共点时,OBC面积最大. 由 消去y并整理得3x2+3bx+b2-3=0, =9b2-12(b2-3),令=0,解得b=2 , 易知直线l与直线OB之间的距离为 , 故OBC面积的最大值为 = . (2)显然,直线l与y轴不垂直,故设直线l的方程为x=my+n,由 消去x并整理得(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0, 3y1+y2=0,y1= , = , = ,n2= , SOBC= |n|y1-y2|=2|n|y1|= = , 点B位于第一象限,x1=my1+n= +n0,n0, y10,m0.,SOBC= = = , 当且仅当3m= ,即m= 时取等号, 此时n= , 所求直线l的方程为x= y+ ,即y= x+ .,圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中定点问题的两种解法: (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研 究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定 点与变量无关. 例6 (2017江苏丹阳高三上学期期初考试,17,15分)如图,在平面直角坐 标系xOy中,A,B分别是椭圆G: +y2=1的左,右顶点,P(2,t)(tR,且t0)为 直线x=2上的一个动点,过点P任意作一条直线l与椭圆G交于C,D,直线 PO分别与直线AC,AD交于E,F. (1)当直线l恰好经过椭圆G的右焦点和上顶点时,求t的值;,(2)记直线AC,AD的斜率分别为k1,k2. 若t=-1,求证: + 为定值; 求证:四边形AFBE为平行四边形.,解析 (1)由题意得,椭圆的上顶点坐标为(0,1),右焦点坐标为( ,0),易 得直线l的方程为y=- x+1, 令x=2,得t=1- . (2)证明:由题意可设直线AC的方程为y=k1(x+2), 由 得 C , 同理,D ,由C,D,P三点共线得kCP=kDP, 即 = ,化简得 4k1k2=t(k1+k2),t=-1时, + =-4(定值). 要证四边形AFBE为平行四边形,即只需证EF的中点为点O, 由 得xE= ,同理xF= , 将t= 分别代入得, xE= = ,xF= = , 所以xE+xF=0,则yE+yF= (xE+xF)=0, 所以EF的中点为O,故四边形AFBE为平行四边形.,
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