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第十二章 概率统计 12.1 统 计,高考数学,一、抽样方法 1.简单随机抽样:设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从 中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样 的抽样为简单随机抽样.一般地,如果用简单随机抽样从个体数为N的总 体中抽取一个容量为n的样本,那么每个个体被抽到的概率等于 . 常用的简单随机抽样方法有: 抽签法 、 随机数法 .,知识清单,2.系统抽样:当总体中的个体数较多时,采用简单随机抽样显得较为费 事.这时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每 一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样. 系统抽样的步骤可概括为: (1)采用随机的方式将总体中的个体编号.为简便起见,有时可直接利用 个体所带有的号码,如考生的准考证号、街道上各户的门牌号等等. (2)为将整个的编号进行分段(即分成几部分),要确定分段的间隔k.当 (N为总体中的个体数,n为样本容量)是整数时,k= ;当 不是整 数时,通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体数N能被n整除,这时k= . (3)在第1段用 简单随机抽样 确定起始的个体编号l. (4)按照事先确定的规律抽取样本(通常是将l加上间隔k,得到第2个编号 (l+k),再将(l+k)加上k,得到第3个编号(l+2k),这样继续下去,直到获取整 个样本). 3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,为了使样本更充分 地反映总体的情况,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比例 进行抽样,这种抽样叫做分层抽样,其中所分成的各部分叫做层.,二、总体分布、总体特征数的估计 用样本估计总体是研究统计问题的一个基本思想方法,而对于总体分 布,总是用样本的频率分布对它进行估计. 1.频率分布表:求一组数据的频率分布,可按以下三步进行:(1)数出落在 各小组内的数据的个数,即 频数 ,(2)每小组的频数与样本容量的 比值叫做这一小组的 频率 ,(3)算出各小组的频率,填入表中,这个 表叫做频率分布表. 2.频率分布直方图:为了将频率分布表中的结果直观形象地表示出来,常画出频率分布直方图,画图时,应以纵轴表示 频率与组距 的比值,以每个组距为底,以各频率除以组距的商为高分别画成矩形,这样得到的直方图就是频率分布直方图.图中每个矩形的面积等于相应组的频率,即 组距=频率,各组频率的和等于1,因此,各矩形的 面积 的和等于1.,3.用样本频率分布估计总体分布 对一组数据进行整理,可以得到它的频率分布,如果这组数据是从一个 总体中抽取的一个样本,那么这个频率分布又称为样本频率分布.通常 可以根据样本的频率分布来估计总体分布,而且样本容量越大,这种估 计就越精确,当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小时,频率分布直 方图就会趋近于一条光滑曲线即总体分布的概率密度曲线. 4.样本平均数 = (x1+x2+x3+xn) . 样本方差s2= (x1- )2+(x2- )2+(xn- )2.,5.茎叶图的画法步骤:第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部 分;第二步:将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列;第三步:将 各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.,随机抽样 1.简单随机抽样的特点:总体中的个体性质相似,无明显层次;总体容量 较小,尤其是样本容量较小;用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性; 个体间无固定间距. 2.系统抽样的特点:适用于元素个数很多且均衡的总体;各个个体被抽 到的机会均等;总体分组后,在起始部分抽样时,采用简单随机抽样. 3.分层抽样的特点:适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;分层 后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.,方法技巧,例1 (2016山东青岛一中月考)某初级中学有学生270人,其中一年级10 8人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑 选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样 和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,270,使 用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,270,并将整个编号依次分 为10段,如果抽得号码有下列四种情况: 7,34,61,88,115,142,169,196,223,250 5,9,100,107,111,121,180,195,200,265 11,38,65,92,119,146,173,200,227,254 30,57,84,111,138,165,192,219,246,270 关于上述样本的下列结论中,正确的是 .(填字母) a.、都不能为系统抽样 b.、都不能为分层抽样 c.、都可能为系统抽样 d.、都可能为分层抽样,解析 因为可能为系统抽样,所以a不对;因为可能为分层抽样,所以 b不对;因为不为系统抽样,所以c不对.,答案 d,茎叶图问题的解题方法 茎叶图反映了所有的样本数据,这是茎叶图的优点,但茎叶图在样本数 据较多时使用又不方便,在实际问题中要根据情况灵活选用数据分布的 表示方法. 例2 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参 加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下: 甲:82,81,79,78,95,88,93,84. 乙:92,95,80,75,83,80,90,85. (1)用茎叶图表示这两组数据; (2)现要从两人中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为 选派哪位学生参加合适?请说明理由.,解题导引 (1)根据茎叶图的相关知识表示出两组数据. (2)从平均数和方差两个角度考虑.,解析 (1)作出茎叶图如图所示.,(2) = (702+804+902+8+9+1+2+4+8+3+5)=85, = (701+804+903+5+0+0+3+5+0+2+5)=85, = (78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(9 5-85)2=35.5, = (75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(9 5-85)2=41.,因为 = , , 所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.,
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