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第三节 平面向量的数量积,(2)两个向量的夹角的范围 向量a与b的夹角范围是 0180 ;当=0时,向量a与b同向;当=180时,向量a与b反向,当=90时,向量a与b垂直,记作ab.,2.数量积的运算律 已知向量a,b,c和实数,则: (1)交换律:ab=ba; (2)结合律:(a)b=(ab)=a(b); (3)分配律:(a+b)c=ac+bc. 3.数量积的性质及坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为向量a与b的夹角.,4.常用的数学方法与思想 基底法、坐标法、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想.,4.(2016云南玉溪一中月考)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则“m=1”是“(a-mb)a”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.C 【解析】由题可得|a|=1,ab=|a|b|cos 60=1,而(a-mb)a=|a|2-mab=1-m,所以当m=1时有(a-mb)a=0,反之,当(a-mb)a时,即(a-mb)a=0时,有m=1. 5.已知a,b是两个向量,|a|=1,|b|=2且(a+b)a,则a与b的夹角为 ( ) A.30 B.60 C.120 D.150 5.C 【解析】由(a+b)a得(a+b)a=0,即|a|2+ab=0,即1+12cos=0,解得cos= ,故=120.,定义法与坐标法解题思路 (1)定义法的思路:首先将所求向量的数量积转化为与条件有关的两向量的基底表示;其次按求数量积的方法步骤即:一求向量a,b的夹角,0,180,二求|a|,|b|,三利用公式ab=|a|b|cos 求数量积. (2)坐标法的思路:首先确定题中坐标原点(如果题中有数量积为0的条件或几何图形有直角可直接建系,否则自己确定一个点为坐标原点);其次在确定的坐标系下写出相关向量的坐标,再按数量积的坐标公式ab=x1x2+y1y2求解.,两次向量数量积的应用 当两向量所夹角的平面区域内还存在一向量时,可利用这一向量与已知的两向量进行两次数量积,可找到相关的待定系数或其他未知数的值,对解决三向量两两存在夹角的问题有很好的效果.,
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