资源描述
第六章 数列,6.1 数列的概念与表示,考纲要求:1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.,1.数列的概念 (1)数列的定义:一般地,按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列一般形式可以写成a1,a2,a3,an,简记为数列an,其中数列的第1项a1也称首项;an是数列的第n项,也叫数列的通项. (2)数列的通项公式:如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n),那么这个式子叫作这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式. (3)数列的前n项和:在数列an中,Sn=a1+a2+an叫作数列的前n项和.,2.数列的分类,3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图像法和解析法. 4.已知数列an的前n项和Sn,则,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)数列an和集合a1,a2,a3,an是一回事. ( ) (2)若数列用图像表示,则从图像上看都是一群孤立的点. ( ) (3)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. ( ) (4)若数列an的前n项和为Sn,则对任意nN+,都有an=Sn-Sn-1. ( ) (5)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列. ( ),1,2,3,4,5,2.已知数列an为2,0,2,0,则下列各式不可以作为数列an的通项公式的是( ),答案,解析,1,2,3,4,5,3.(2015南昌模拟)若an为递增数列,则an的通项公式可以为( ) A.an=-2n+3 B.an=-n2-3n+1 C.an= D.an=1+log2n,答案,解析,1,2,3,4,5,4.若数列an的前n项和Sn=n2+3n,则a6+a7+a8= .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.数列an满足an+1= ,a11=2,则a1= .,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.数列是按一定顺序排列的一列数,数列an为a1,a2,a3,an.而集合a1,a2,a3,an的元素没有顺序. 2.数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.求数列的通项公式就是找出数列的项an与项数n的函数关系式.根据数列的前几项求出的数列的通项公式不唯一. 3.数列不仅有递增数列、递减数列,还有常数列、摆动数列. 4.已知Sn求an,要对n=1和n2两种情况进行讨论.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1由数列的前几项求数列的通项公式 例1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:,解:(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5).,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:如何根据数列的前几项的值写出数列的一个通项公式? 解题心得:根据所给数列的前几项求其通项时,要注意观察每一项的特点,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征,相邻项的变化特征,拆项后的各部分特征,符号特征.进而观察an与n之间的关系,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 写出下列数列的一个通项公式:,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2由an与Sn的关系求通项公式 例2已知下面数列an的前n项和Sn,求数列an的通项公式: (1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:已知数列的前n项和Sn,求数列通项的一般方法是什么? 解题心得:已知数列的前n项和Sn,则通项公式 当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n2时的通项公式an;当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 (1)已知数列an的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为an= .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3由递推关系式求数列的通项公式(多维探究) 类型一 形如an+1=anf(n),求an 例3在数列an中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n2),求数列an的通项公式. 思考:已知数列an中,an+1=anf(n),利用什么方法求an?,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,类型二 形如an+1=an+f(n),求an 例4在数列an中,已知a1=2,an+1=an+3n+2,求数列an的通项公式. 思考:已知数列an中,an+1=an+f(n),利用什么方法求an?,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,类型三 形如an+1=pan+q,求an 例5已知数列an满足a1=1,an+1=3an+2,求数列an的通项公式. 思考:已知数列an中,an+1=pan+q(p,q均为常数),利用什么方法求an?,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 (1)(2015江苏,11)设数列an满足a1=1,且an+1-an=n+1(nN+).则数列 前10项的和为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)在数列an中,a1=2,an+1=4an-3n+1,则数列an的通项公式an= .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(3)在数列an中,已知a1=1, (n2),则数列的通项公式an= .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(4)已知数列an中,a1=1,an+1=2an+3n,则数列的通项公式an= .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.求数列通项公式或指定项,通常用观察法,观察出前几项与项数之间的关系,抽象出an与n的关系,对于正、负项相间的数列,一般用(-1)n或 来区分奇偶项的符号. 2.已知递推关系求通项公式,一般有三种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想. (2)形如“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+=p(an+),由待定系数法求出,再化为等比数列. (3)递推公式化简整理后,若为an+1-an=f(n)型,则采用累加法;若为 型,则采用累乘法. 3.求数列最大项的方法:判断an的单调性;解不等式组,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值是正整数. 2.数列的通项公式不一定唯一. 3.注意an=Sn-Sn-1中需n2. 4.由Sn求an时,利用 求出an后,要注意验证a1是否适合求出的an的关系式.,思想方法用函数的思想求数列中项的最值 数列是一种特殊的函数,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项及前n项和的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求an和Sn的最值问题都可以通过求相应函数的最值的方法求得,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续. 典例1已知数列an是递增数列,且对于任意的nN+,an=n2+n恒成立,则实数的取值范围是 . 答案:(-3,+),解析:方法一:设f(n)=an=n2+n,其图像的对称轴为直线 ,要使数列an为递增数列,只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数,由图像可知要满足f(1)-2n-1, (-2n-1)max=-3,-3.,典例2已知数列an. (1)若an=n2-5n+4, 数列an中有多少项是负数? n为何值时,an取最小值?并求出最小值. (2)若an=-n2+kn+4,且对于nN+,都有an+1an,求实数k的取值范围. 解:(1)由n2-5n+40,解得1n4. nN+,n=2,3. 数列an中有两项是负数,即为a2,a3.,
展开阅读全文