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,第五章 平面向量与复数,1理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2体会平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角 5会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,请注意 这部分知识是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是必考的重要内容之一,(2)a与b的夹角为 度时，叫ab. (3)若a与b的夹角为，则ab . (4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab . (5)a在b的方向上的投影为 .,AOB,90,0180,|a|b|cos,x1x2y1y2,|a|cos,x1x2y1y20,x1y2x2y10,2数量积满足的运算律 已知向量a，b，c和实数，则向量的数量积满足下列运算律： (1)ab . (2)(a)b(ab) (3)(ab)c .,ba,a(b),acbc,3注意 (1)两个向量的数量积是一个实数 0a0(实数)而0a0. (2)数量积不满足结合律(ab)ca(bc) (3)ab中的“”不能省略,1判断下面结论是否正确(打“”或“”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量 (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量,答案 (1) (2) (3) (4) (5),2已知|a|6，|b|3，ab12，则向量a在向量b方向上的投影是( ) A4 B4 C2 D2 答案 A,答案 10,5(2015东北三校联考)已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|b|1，则向量a与向量a2b的夹角等于( ) A150 B90 C60 D30 答案 D,例1 (1)已知|a|2，|b|5，若：ab；ab；a与b的夹角为30，分别求ab. 【思路】 根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角.,题型一 平面向量的数量积的运算,【解析】 当ab时，若a与b同向，则它们的夹角为0. ab|a|b|cos025110. 若a与b反向，则它们的夹角为180. ab|a|b|cos18025(1)10. 当ab时，它们的夹角为90. ab|a|b|cos902500.,【答案】 25,探究1 (1)求平面向量数量积的步骤是： 求a与b的夹角，0，180； 分别求|a|和|b|； 求数量积，即ab|a|b|cos，若知道向量的坐标a(x1，y1)，b(x2，y2)，则求数量积时用公式abx1x2y1y2计算 (2)注意共线时0或180，垂直时90，三种特殊情况,已知a，b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求： (1)(a2b)(ab)； (2)|ab|； (3)|3a4b|.,思考题1,题型二 向量的夹角,【答案】 C,【答案】 B,(1)已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_,思考题2,(2)(2014四川文)若平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m( ) A2 B1 C1 D2,【答案】 D,题型三 向量的模,【答案】 B,(2)已知向量a，b满足|a|6，|b|4，且a与b的夹角为60，求|ab|和|a3b|. 【思路】 本例题介绍两种求向量模的方法： 利用|ab|2(ab)(ab)；构造模型，利用向量的加法和减法求模,(1)已知单位向量e1，e2的夹角为60，则|2e1e2|_.,思考题3,【答案】 C,题型四 平行与垂直,探究4 平行与垂直问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b20，aba1b2a2b10.,(1)设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|_.,思考题3,1记忆向量的数量积公式应从两个方面： 定义，向量的数量积的坐标公式 2向量的数量积应用广泛，可用于求角、求长度、证垂直等问题 3注意数形结合思想的应用，如加、减运算的几何意义，数量积的几何意义投影,1关于平面向量a，b，c，有下列五个命题： 若abac，则bc； |ab|a|b|ab； ab|ab|ab|； |a|b|ac|bc|； 若非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60. 其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号) 答案 ,解析 由数量积定义ab|a|b|cos，若abac， 则|a|b|cos|a|c|cos. |b|cos|c|cos， 即只要b和c在a上的投影相等， 则abac. 中ab|a|b|cos，由|ab|a|b|及a，b为非零向量可得|cos|1，0或，ab且以上各步均可逆，故命题是真命题,中当ab时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等即有|ab|ab|.反过来，若|ab|ab|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有ab，因此命题是真命题 中当|a|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|ac|bc|，反过来由|ac|bc|也推不出|a|b|.故命题是假命题,失分警示 解决向量问题常常要数形结合，ab等于|a|乘以b在a方向上的投影，或等于|b|乘以a在b方向上的投影,2已知两个非零向量a，b，满足|ab|ab|，则下面结论正确的是( ) Aab Bab C|a|b| Dabab 答案 B 解析 由|ab|ab|，两边平方并化简，得ab0.又a，b都是非零向量，所以ab.,答案 A,答案 A,解析 由条件可得(ab)2 10，(ab)26，两式相减，得4ab4，所以ab1.,有关数量积的最值问题,【答案】 2,【答案】 D,【答案】 A,【答案】 2,【答案】 2,5,
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