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5.4 平面向量的应用,考纲要求:1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.,1.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题,常用共线向量定理:ab(b0)a=bx1y2-x2y1=0 . (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质abab=0x1x2+y1y2=0 (a,b均为非零向量). (3)求夹角问题,利用夹角公式 (为a与b的夹角). 2.向量在三角函数中的应用 对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.,3.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件,通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答. 4.向量在物理中的应用 物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=|F|s|cos (为F与s的夹角).,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (3)在四边形ABCD中, ,则四边形ABCD是矩形. ( ) (4)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决. ( ) (5)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算. ( ),1,2,3,4,5,2.若 ,则ABC必定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,答案,解析,1,2,3,4,5,3.设x,yR,i,j是直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若a=xi+(y+3)j,b=xi+(y-3)j,且|a|+|b|=6,则点M(x,y)的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.射线,答案,解析,1,2,3,4,5,4.平面上三个力F1,F2,F3作用于一点且处于平衡状态.已知|F1|=1 N,|F2|=2 N,F1,F2成120角,则F1与F3所成的角为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.平面上有三个点A(-2,y),B ,C(x,y),若 ,则动点C的轨迹方程为 .,答案,解析,1,2,3,4,5,自测点评 1.向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观,向量本身是一个数形结合的产物.在利用向量解决问题时,要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合. 2.要注意变换思维方式,能从不同角度看问题,要善于应用向量的有关性质解题.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1向量在平面几何中的应用 例1(1)在ABC中, ,则AB边的长度为( ) A.1 B.3 C.5 D.9,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:用平面向量解决平面几何问题一般有哪些方法? 解题心得:用平面向量解决平面几何问题时,有两种方法:基向量法和坐标系法,建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系,或使较多的点落在坐标轴上,这样便于迅速解题.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)(2015安徽六安模拟)已知非零向量 满 足 ,则ABC为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60,E为CD的中点.若 ,则AB的长为 .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2向量在三角函数中的应用,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么? 解题心得:利用向量求解三角函数问题的一般思路: (1)求三角函数值,一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式.利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解. (2)求三角函数性质问题,通常是利用向量转化后化归为二次函数或一个角的一个三角函数,利用角的范围求解. (3)求角时通常由向量转化为三角函数问题,先求值再求角. (4)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3向量在解析几何中的应用,例3(2015课标全国,文20)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围; (2)若 ,其中O为坐标原点,求|MN|.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:在向量与解析几何相结合的题目中,向量起到怎样的作用? 解题心得:向量在解析几何中的作用: (1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQl,垂足为Q,且 (1)求动点P的轨迹方程; (2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一条直径,求 的最值.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有: 2.解决平面向量与三角函数的交汇问题,关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决. 3.解决向量与解析几何的综合问题,可将向量用点的坐标表示,利用向量运算及性质转化为解析几何问题. 4.向量中有关最值问题的求解思路:一是“形化”,利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题;二是“数化”,利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价. 2.注意向量共线和两直线平行的关系.,答题模板:利用向量解三角形问题的一般步骤为: 第一步:分析题中条件,观察题中向量和三角形的联系; 第二步:脱去“向量外衣”,利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系; 第三步:利用正弦定理或余弦定理解三角形; 第四步:反思回顾,检查所得结果是否符合题意.,
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