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5.3 平面向量的数量积,考纲要求:1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.,1.两向量的夹角与垂直 (1)夹角:已知两个非零向量a和b,如图,作 ,则AOB=(0180)叫作向量a与b的夹角. 范围:向量a与b的夹角的范围是0180. 当=0时,a与b同向. 当=180时,a与b反向.,(2)垂直:如果a与b的夹角是90,则称a与b垂直,记作ab.规定零向量可与任一向量垂直.,2.投影的概念:|b|cos 叫作向量b在a方向上的投影. 3.向量的数量积 (1)定义:已知两个向量a和b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积),记作 ab,即ab=|a|b|cos ,由定义可知零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0. (2)数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos 的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos 的乘积.,5.平面向量数量积的运算律 (1)ab=ba(交换律); (2)(a)b=(ab)=a(b)(结合律); (3)a(b+c)=ab+ac(分配律).,1,2,3,4,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)向量在另一个向量方向上的投影也是向量. ( ) (2)若ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角. ( ) (3)若ab=0,则a=0或b=0. ( ) (4)(ab)c=a(bc). ( ) (5)若ab=ac(a0),则b=c. ( ),1,2,3,4,5,答案,解析,2.(2015课标全国,文4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,3.(2015广东,文9)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形, =( ) A.5 B.4 C.3 D.2,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,4.(2015福建,文7)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc,则实数k的值等于( ),1,2,3,4,5,答案,解析,5.已知a=(2,-1),b=(,3),若a与b的夹角为钝角,则的取值范围是 .,1,2,3,4,5,自测点评 1.由于|a|b|cos 和|b|cos 都是数量,所以ab和b在a方向上的投影都是一个数量,而不是向量. 2.对于两个非零向量a与b,由于当=0时,ab0,所以ab0是两个向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件;ab=0也不能推出a=0或b=0,因为ab=0时,有可能ab. 3.在实数运算中,若a,bR,则|ab|=|a|b|;若ab=ac(a0),则b=c.但对于向量a,b却有|ab|a|b|;若ab=ac(a0),则b=c不一定成立,原因是ab=|a|b|cos ,当cos =0时,b与c不一定相等. 4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(ab)c不一定等于a(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1平面向量数量积的运算 例1(1)(2015云南统一检测)设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则 的值为 ; 的最大值为 .,答案:1 1,解析: (方法一)如图,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:求向量数量积的运算有几种形式? 解题心得:1.求两个向量的数量积有三种方法: (1)当易知向量的模和夹角时,利用定义求解,即ab=|a|b|cos; (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. (3)利用数量积的几何意义.数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积. 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练1 (1)设向量a,b满足|a+b|= ,|a-b|= ,则ab=( ) A.1 B.2 C.3 D.5,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则ab=( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(3)已知两个单位向量e1,e2的夹角为 ,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1b2= .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2平面向量的模及应用,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)(2015湖南,文8)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC,若点P的坐标为(2,0),则 的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:求向量的模及求向量模的最值有哪些方法? 解题心得:1.求向量的模的方法: (1)公式法,利用|a|= 及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算; (2)几何法,利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 2.求向量模的最值(或范围)的方法:(1)求函数最值法,把所求向量的模表示成某个变量的函数再求; (2)数形结合法,弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2 (1)已知向量a,b均为单位向量,它们的夹角为 ,则|a+b|=( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3平面向量的夹角与平面向量的垂直,答案,解析,例3(1)(2015重庆,文7)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与b的夹角为( ),考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,(2)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m= .,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:两向量数量积的正负与两向量的夹角有怎样的关系?两向量的垂直与其数量积有何关系? 解题心得:1.若a,b为非零向量, (夹角公式),abab=0. 2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3 (1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于 ,|a|=2,|b|=3,则2a-b与a+2b的夹角的余弦值等于( ),答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),是向量a与b的夹角.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,2.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正、负进行转化时,不要遗漏共线的情况. 2.|ab|a|b|当且仅当ab时等号成立.这是因为|ab|=|a|b|cos |,而|cos |1.,思想方法函数思想与数形结合思想在数量积中的应用 典例1设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,yR.若e1,e2的夹角为 的最大值等于 . 答案:2,典例2若平面向量,满足|=1,|1,且以向量,为邻边的平行四边形的面积为 ,则与的夹角的取值范围是 .,
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