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第九章 平面解析几何,9.3 圆的方程,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.圆的定义 在平面内，到 的距离等于 的点的 叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是 和 . 3.圆的标准方程 (xa)2(yb)2r2(r0)，其中 为圆心， 为半径. 4.圆的一般方程 x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是 ，其中圆心为 _，半径r_.,定长,集合,定点,圆心,半径,(a，b),r,D2E24F0,知识梳理,1,答案,5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.,6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上：_； (2)点在圆外： _ ； (3)点在圆内： _.,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,(x0a)2(y0b)2r2,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.( ) (3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.( ) (4)方程x22axy20一定表示圆.( ),答案,思考辨析,答案,1.(教材改编)x2y24x6y0的圆心坐标是_.,圆x2y24x6y0的圆心为(2，3).,(2，3),考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是_.,解析 由题意知a24a24(2a2a1)0，,解析答案,1,2,3,4,5,3.(2015北京改编)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是_.,圆的方程为(x1)2(y1)22.,(x1)2(y1)22,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_. 解析 设圆心坐标为C(a,0)， 点A(1,1)和B(1,3)在圆C上， CACB，,解得a2，,圆心为C(2,0)，,圆C的方程为(x2)2y210.,(x2)2y210,解析答案,1,2,3,4,5,5.(2015湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且AB2. (1)圆C的标准方程为_；,解析 由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，,解析答案,1,2,3,4,5,(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_.,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,例1 根据下列条件，求圆的方程. (1)经过P(2,4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；,题型一 求圆的方程,解析答案,解 设圆的方程为x2y2DxEyF0，,又令y0，得x2DxF0. ,设x1，x2是方程的两根， 由|x1x2|6有D24F36， 由解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0. 故所求圆的方程为x2y22x4y80，或x2y26x8y0.,(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2).,解析答案,思维升华,解 方法一 如图，设圆心(x0，4x0)，,故圆的方程为(x1)2(y4)28.,方法二 设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，,解析答案,思维升华,因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.,思维升华,思维升华,(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.,(1)(2014陕西)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_.,解析 由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1， 所以圆C的标准方程为x2(y1)21.,x2(y1)21,跟踪训练1,解析答案,(2)过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_.,解析 由已知kAB0， 所以AB的中垂线方程为x3. 过B点且垂直于直线xy10的直线方程为y1(x2)，即xy30， ,所以圆心坐标为(3,0)，,所以圆C的方程为(x3)2y22.,(x3)2y22,解析答案,命题点1 斜率型最值问题,题型二 与圆有关的最值问题,解析答案,则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.,解析答案,命题点2 截距型最值问题,例3 在例2条件下，求yx的最小值和最大值. 解 设yxb，则yxb， 仅当直线yxb与圆切于第四象限时，截距b取最小值，,解析答案,命题点3 距离型最值问题,例4 在例2条件下，求x2y2的最大值和最小值. 解 x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方， 由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点 处取得最大值和最小值(如图).,解析答案,思维升华,思维升华,与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.形如u 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题； 形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题.,(1)设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则PQ的最小值为 _.,解析 PQ的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 因为圆的圆心为(3，1)，半径为2， 所以PQ的最小值d3(3)24.,4,跟踪训练2,解析答案,(2)已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3). 求MQ的最大值和最小值；,解 由圆C：x2y24x14y450， 可得(x2)2(y7)28， 所以圆心C的坐标为(2,7)，,解析答案,设直线MQ的方程为y3k(x2)，,解析答案,例5 设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.,题型三 与圆有关的轨迹问题,解析答案,思维升华,解 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，,解析答案,又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24. 因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，,思维升华,思维升华,求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. 定义法：根据圆、直线等定义列方程. 几何法：利用圆的几何性质列方程. 代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.,已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程；,解 设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y). 因为P点在圆x2y24上， 所以(2x2)2(2y)24， 故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.,跟踪训练3,解析答案,(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程.,解 设PQ的中点为N(x，y)，连结BN. 在RtPBQ中，PNBN. 设O为坐标原点，连结ON，则ONPQ， 所以OP2ON2PN2ON2BN2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.,解析答案,返回,思想与方法系列,典例 在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程. 思维点拨 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.,19.利用几何性质巧设方程求半径,思想与方法系列,温馨提醒,巧妙解法,解析答案,思维点拨,返回,规范解答 解 一般解法 (代数法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，,故圆的方程是x2y26x2y10.,设圆的方程是x2y2DxEyF0 (D2E24F0)，,温馨提醒,巧妙解法,所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.,温馨提醒,返回,(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式. (2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算.显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题.,温馨提醒,思想方法 感悟提高,1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数. 2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.,方法与技巧,1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程. 2.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是_.,解析 AB的中点坐标为(0,0)，,圆的方程为x2y22.,x2y22,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点与圆的位置关系是_. 解析 将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a， 因为0a1， 所以(0a)2(01)22a(a1)20，,所以原点在圆外.,原点在圆外,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以圆M的方程为(x1)2y24. 答案 (x1)2y24,解析 由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a2，半径为r，,4.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_ _. 解析 设圆上任一点坐标为(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(x2)2,(y1)21,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又圆与直线2xy10相切，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以圆心坐标为(1,2)，,则所求圆的方程为(x1)2(y2)25.,答案 (x1)2(y2)25,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是 _.,解析答案,7.(2015江苏)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 _.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 直线mxy2m10恒过定点(2，1)，,故所求圆的标准方程为(x1)2y22.,(x1)2y22,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.(2014湖北)已知圆O：x2y21和点A(2,0)，若定点B(b,0)(b2)和常数满足：对圆O上任意一点M，都有MBMA，则 (1)b_；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 因为点M为圆O上任意一点， 所以不妨取圆O与x轴的两个交点(1,0)和(1,0). 当M点取(1,0)时，由MBMA，得|b1|； 当M点取(1,0)时，由MBMA，得|b1|3. 消去，得|b1|3|b1|. 两边平方，化简得2b25b20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)_.,解析答案,9.一圆经过A(4,2)，B(1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 设所求圆的方程为x2y2DxEyF0. 令y0，得x2DxF0，所以x1x2D. 令x0，得y2EyF0，所以y1y2E. 由题意知DE2，即DE20. 又因为圆过点A、B，所以1644D2EF0. 19D3EF0. 解组成的方程组得D2，E0，F12. 故所求圆的方程为x2y22x120.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 设P(x，y)，圆P的半径为r. 则y22r2，x23r2. y22x23，即y2x21. P点的轨迹方程为y2x21.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 设P的坐标为(x0，y0)，,y0x01，即y0x01.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,圆P的方程为x2(y1)23.,圆P的方程为x2(y1)23. 综上所述，圆P的方程为x2(y1)23.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(x2)2(y1)24,解析答案,12.设P为直线3x4y30上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 依题意，圆C：(x1)2(y1)21的圆心是点C(1,1)，半径是1，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.若圆x2(y1)21上任意一点(x，y)都使不等式xym0恒成立，则实数m的取值范围是_.,解析答案,解析 据题意圆x2(y1)21上所有的点都在直线xym0的右上方，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.已知实数x、y满足方程(x3)2(y3)26，求xy的最大值和最小值.,解 设xyt，则直线yxt与圆(x3)2(y3)26有公共点.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.如图，经过B(1,2)作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交y轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C. (1)若A(0,1)，求点C的坐标；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 由直线l1经过两点A(0,1)，B(1,2)， 得l1的方程为xy10. 由直线l2l1，且直线l2经过点B， 得l2的方程为xy30. 所以，点C的坐标为(3,0).,(2)试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,解 因为ABBC，OAOC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,若l1与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在.,所以直线l1的方程为y2k(x1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以直线l1的方程为y2k(x1)，,解析答案,从而A(0,2k)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,注意到k0，,返回,
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