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第九章 平面解析几何,9.2 两条直线的位置关系,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 两条直线平行： ()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2 (k1，k2均存在). ()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.,k1k2,知识梳理,1,答案,两条直线垂直： ()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2_ (k1，k2均存在). ()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2. (2)两条直线的交点 直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是 方程组 的解.,k1k21,答案,2.几种距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2| . (2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d . (3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离 d .,答案,1.一般地，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0. 2.过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R)，但不包括l2. 3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件： (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.,知识拓展,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( ) (3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.( ),答案,思考辨析,(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为 .( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) (6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于 ，且线段AB的中点在直线l上.( ),答案,1.设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的_条件. 解析 (1)充分性：当a1时， 直线l1：x2y10与直线l2：x2y40平行； (2)必要性：当直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行时有a2或1. 所以“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充分不必要条件.,充分不必要,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a .,解析答案,1,2,3,4,5,3.已知直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8平行，则实数m的值为_.,得m1或7.,解析答案,1,2,3,4,5,7,4.(2014福建改编)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是_. 解析 圆x2(y3)24的圆心为点(0,3)， 又因为直线l与直线xy10垂直， 所以直线l的斜率k1. 由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30.,xy30,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_. 解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.,0或1,解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,例1 (1)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a_. 解析 若a0，两直线方程为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0.,解得a1或a2.,1或2,题型一 两条直线的平行与垂直,解析答案,(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_. 解析 方法一 l1l2， k1k21，,解得a2. 方法二 l1l2， a20，a2.,2,解析答案,思维升华,思维升华,(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.,已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得： (1)l1l2；,跟踪训练1,解析答案,解 方法一 当sin 0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.,解析答案,方法二 由A1B2A2B10，得2sin210，,又B1C2B2C10，所以1sin 0，即sin 1.,(2)l1l2. 解 因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件， 所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kZ. 故当k，kZ时，l1l2.,解析答案,题型二 两条直线的交点与距离问题,解析答案,又交点位于第一象限，,解析答案,方法二 如图，已知直线,解析答案,而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线. 两直线的交点在第一象限， 两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)， 动直线的斜率k需满足kPAkkPB.,(2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_.,解析答案,解析 方法一 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y2k(x1)，即kxyk20.,即|3k1|3k3|，,解析答案,思维升华,即x3y50. 当l过AB中点时，AB的中点为(1,4). 直线l的方程为x1. 故所求直线l的方程为x3y50或x1.,答案 x3y50或x1,即x3y50. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意.,思维升华,思维升华,(1)求过两直线交点的直线方程的方法： 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.,(1)如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程.,解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20. 设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0， 即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)， (1)(1)(2)120.,跟踪训练2,解析答案,(2)正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程.,解析答案,设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，,解得m5(舍去)或m7， 所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.,解析答案,设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，,解得n3或n9， 所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.,命题点1 点关于点中心对称,例3 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_. 解析 设l1与l的交点为A(a,82a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上， 代入l2的方程得a3(2a6)100， 解得a4， 即点A(4,0)在直线l上， 所以直线l的方程为x4y40.,x4y40,题型三 对称问题,解析答案,命题点2 点关于直线对称,例4 已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_.,解析答案,命题点3 直线关于直线的对称问题,例5 已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程.,解析答案,思维升华,解 在直线m上任取一点，如M(2,0)， 则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.,解析答案,思维升华,设直线m与直线l的交点为N，,又m经过点N(4,3). 由两点式得直线m的方程为9x46y1020.,思维升华,解决对称问题的方法 (1)中心对称,直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.,思维升华,(2)轴对称,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.,在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图).若光线QR经过ABC的重心，则AP_.,跟踪训练3,解析答案,返回,解析 建立如图所示的坐标系：,可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC的方程为xy4，,设P(a,0)，其中0a4，,解析答案,解析答案,代入化简可得3a24a0，,返回,思想与方法系列,一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.,典例 求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.,思维点拨 因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1).,18.妙用直线系求直线方程,思想与方法系列,解析答案,思维点拨,温馨提醒,规范解答 解 依题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)， 又因为直线过点(1,2)， 所以3142c0，解得c11. 因此，所求直线方程为3x4y110.,温馨提醒,温馨提醒,与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10 (C1C)，再由其他条件求C1.,二、垂直直线系 由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系，可以考虑用直线系方程求解. 典例 求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程. 思维点拨 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.,解析答案,思维点拨,温馨提醒,规范解答 解 因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.,温馨提醒,温馨提醒,与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC10，再由其他条件求出C1.,三、过直线交点的直线系 典例 求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程. 思维点拨 可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.,解析答案,思维点拨,温馨提醒,返回,规范解答,即4x3y60. 方法二 设直线l的方程为x2y4(xy2)0， 即(1)x(2)y420. 又ll3，3(1)(4)(2)0， 解得11. 直线l的方程为4x3y60.,温馨提醒,返回,温馨提醒,本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解.,思想方法 感悟提高,1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法.,方法与技巧,1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑. 2.在运用两平行直线间的距离公式d 时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.设a，b，c分别是ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线sin Axayc0与bxsin Bysin C0的位置关系是_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即直线sin Axayc0与bxsin Bysin C0垂直.,方法二 由正弦定理有a2Rsin A，b2Rsin B(其中R为ABC外接圆的半径)， 所以bsin Aasin B2Rsin Bsin A2Rsin Asin B0， 所以直线sin Axayc0与bxsin Bysin C0垂直. 答案 垂直,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,二,解析答案,4.若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点_. 解析 直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)， 又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称， 故直线l2经过定点(0,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(0,2),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5.从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为_.,其与y轴的交点坐标为(0,2)， 又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)， 所以反射光线过点(2,3)与(0,2)， 由两点式得直线方程为x2y40.,x2y40,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 由题可知，集合M表示过点(2,3)且斜率为3的直线，但除去(2,3)点， 而集合N表示一条直线，,7.已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，若l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则ab_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,1,解析答案,9.已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 依题意知：kAC2，A(5,1)， lAC为2xy110，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,代入2xy50，得2x0y010，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即6x5y90.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.已知直线l经过直线l1：2xy50与l2：x2y0的交点. (1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0， 即(2)x(12)y50， 点A(5,0)到l的距离为3，,l的方程为x2或4x3y50.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.,解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则dPA(当lPA时等号成立).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.若点(m，n)在直线4x3y100上，则m2n2的最小值是_.,解析 因为点(m，n)在直线4x3y100上， 所以4m3n100.,解析答案,表示4m3n100上的点(m，n)到原点的距离，如图.,当过原点的直线与直线4m3n100垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m2n2的最小值为4.,4,12.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，2)，C(b,3)，且a0，b0.,ACAB，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即ABC面积的最小值为6.,答案 6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和为PAPBPCPDPBPDPAPCBDACQAQBQCQD，,故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点. A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)，,解析答案,直线AC的方程为y22(x1)，直线BD的方程为y5(x1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 (2,4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求l关于点(2,3)对称的直线方程.,解 在l上任取一点，如M(0，1)， 则M关于点(2,3)对称的点为N(4,7). 当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行， 所求直线过点N且与l平行，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,又a0，解得a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 假设存在点P，设点P(x0，y0). 若P点满足条件，则P点在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即|2x0y03|x0y01|， 所以x02y040或3x020； 由于点P在第一象限，所以3x020不可能.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,返回,
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