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第七章 不等式,7.2 一元二次不等式及其解法,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识 自主学习,1.“三个二次”的关系,知识梳理,1,答案,2.(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法,x|axb,口诀：大于取两边，小于取中间.,x|xa,x|xa,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若不等式ax2bxc0.( ) (2)不等式 0的解集是1,2.( ) (3)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.( ) (4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.( ) (5)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.( ),思考辨析,答案,返回,1.不等式x23x100的解集是_.,解析 解方程x23x100得x12，x25， 由yx23x10的开口向上， 所以x23x100的解集为(，2)(5，).,(，2)(5，),考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.设集合Mx|x23x40，Nx|0x5，则MN_. 解析 Mx|x23x40x|1x4， MN0,4).,0,4),解析答案,1,2,3,4,5,解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x60，解集为(2,3).,(2,3),解析答案,1,2,3,4,5,4.若关于x的不等式m(x1)x2x的解集为x|1x2x的解集为x|1x2. 所以1,2一定是m(x1)x2x的解，m2.,2,解析答案,1,2,3,4,5,5.若关于x的方程x2axa210有一正根和一负根，则a的取值范围为_. 解析 由题意可知，0且x1x2a210，故1a1.,(1,1),解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类 深度剖析,命题点1 不含参的不等式,例1 求不等式2x2x30， 解方程2x2x30得x11，,题型一 一元二次不等式的求解,解析答案,命题点2 含参不等式 例2 解关于x的不等式：x2(a1)xa1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa， 当a1时，x2(a1)xa0的解集为， 当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax1.,解析答案,将原不等式改为ax2(a1)x10，求不等式的解集.,解析答案,引申探究,思维升华,解 若a0，原不等式等价于x11.,解析答案,思维升华,思维升华,思维升华,含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.,求不等式12x2axa2(aR)的解集.,跟踪训练1,解析答案,解 12x2axa2，12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，,a0时，x20，解集为x|xR且x0；,解析答案,综上所述，当a0时，不等式的解集为,当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；,命题点1 在R上恒成立,(3,0),题型二 一元二次不等式恒成立问题,解析答案,(2)设a为常数，xR，ax2ax10，则a的取值范围是_.,解析 xR，ax2ax10，,0,4),解析答案,命题点2 在给定区间上恒成立,例4 设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.,解析答案,解 要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即,有以下两种方法：,解析答案,当m0时，g(x)在1,3上是增函数， 所以g(x)maxg(3)7m60，,当m0时，60恒成立； 当m0时，g(x)在1,3上是减函数， 所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.,解析答案,命题点3 给定参数范围的恒成立问题,例5 对任意的k1,1，函数f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零，则x的取值范围是_ . 解析 x2(k4)x42k0恒成立， 即g(k)(x2)k(x24x4)0， 在k1,1时恒成立.,x|x3,解之得x3.,解析答案,思维升华,思维升华,(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.,(1)若不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_.,解析 x22x5(x1)24的最小值为4， 所以x22x5a23a对任意实数x恒成立， 只需a23a4，解得1a4.,1,4,跟踪训练2,解析答案,(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.,解析 作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，,解析答案,(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；,例6 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加 x成.要求售价不能低于成本价.,所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x0,2.,题型三 一元二次不等式的应用,解析答案,(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.,解 由题意得40(10x)(254x)10 260，,解析答案,思维升华,思维升华,求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系. (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型. (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.,某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量.,(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；,解 y(10.75x)12(1x)10(10.6x)10 000 6 000x22 000x20 000， 即y6 000x22 000x20 000(0x1).,跟踪训练3,解析答案,(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解 上年利润为(1210)10 00020 000. y20 0000，即6 000x22 000x0，,解析答案,返回,思想与方法系列,典例 (1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_.,思维点拨 考虑“三个二次”间的关系；,思想与方法系列,14.转化与化归思想在不等式中的应用,解析答案,思维点拨,f(x)的值域为0，)，,解析 由题意知f(x)x2axb,解析答案,答案 9,思维点拨 将恒成立问题转化为最值问题求解.,温馨提醒,解析答案,返回,思维点拨,即当x1时，a(x22x)g(x)恒成立. 而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减， g(x)maxg(1)3，故a3. 实数a的取值范围是a|a3. 答案 a|a3,温馨提醒,温馨提醒,(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题. (2)注意函数f(x)的值域为0，)与f(x)0的区别.,返回,思想方法 感悟提高,1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a0时的情形. 2.f(x)0的解集即为函数yf(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想. 3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解.,方法与技巧,1.对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形. 2.当0 (a0)的解集为R还是，要注意区别. 3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.不等式(x1)(2x)0的解集为_. 解析 由(x1)(2x)0可知(x2)(x1)0， 所以不等式的解集为x|1x2.,x|1x2,解析答案,解析 方法一 当x0时，x2x2， 1x0； 当x0时，x2x2，0x1. 由得原不等式的解集为x|1x1. 方法二 作出函数yf(x)和函数yx2的图象，如图，由图知f(x)x2的解集为1,1.,1,1,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是_. 解析 由题意知a0时，满足条件.,得0a4，所以0a4.,0,4,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.已知不等式x22x30的解集是A，不等式x2x60的解集是B，不等式x2axb0的解集是AB，那么ab_. 解析 由题意，Ax|1x3，Bx|3x2， ABx|1x2， 则不等式x2axb0的解集为x|1x2. 由根与系数的关系可知，a1，b2， 所以ab3.,3,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5.设a0，不等式caxbc的解集是x|2x1，则abc_.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 c0，,不等式的解集为x|2x1，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 213,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.若不等式2x22axa1有唯一解，则a的值为_,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 若不等式2x22axa1有唯一解， 则x22axa1有两个相等的实根，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2,解析 f(x3)f(x)， f(2)f(13)f(1)f(1)1.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0的解集； 解 由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn). 当m1，n2时，不等式F(x)0， 即a(x1)(x2)0. 当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2； 当a0的解集为x|1x2.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 f(x)mF(x)xma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，,xm0. f(x)m0，即f(x)m.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知函数f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)3或2x1，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.若关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a_.,解析 由x22ax8a20， 所以不等式的解集为(2a,4a)， 即x24a，x12a，由x2x115，,13.已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，当x1,1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是_. 解析 由f(1x)f(1x)知f(x)图象的对称轴为直线x1，,由f(x)的图象可知f(x)在1,1上为增函数. x1,1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2， 令b2b20，解得b2.,b2,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.求使不等式x2(a6)x93a0，|a|1恒成立的x的取值范围 解 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90. 令f(a)(x3)ax26x9. 因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以 (1)若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去 (2)若x3，则由一次函数的单调性，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以x的取值范围是x|x4,返回,
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